这部分主要是介绍相对论运动学内容，目的是介绍四动量的计算。

狭义相对论是一套用来描述运动速度接近光速的质点运动学理论，由Einstein在1905年提出。粒子物理研究的粒子都是质量小、运动速度快的粒子，如光子以光速运动，电子、 $\mu$ 子等也都以接近光速运动。因此用于描述这些粒子运动的理论就是狭义相对论。

这部分首先介绍运动下的Lorentz变换，随后引出协变四矢量和逆变四矢量以及它们之间的运算，最终得到描述高速粒子运动的能量-动量四矢量和质壳方程。

Lorentz变换

Lorentz变换是指同一质点在两个相对运动的惯性参考系之间的坐标的变换关系。假设两个惯性参考系分别是 $S$ 系和 $S^\prime$ 系，其中 $S^\prime$ 系的原点沿着 $S$ 系的 $x$ 轴正方向以速度 $\boldsymbol v$ (大小为 $v$ )运动。同一质点在 $S$ 系和 $S^\prime$ 系中的坐标和时间分别描述为 $(x,y,z,t)$ 和 $(x^\prime, y^\prime, z^\prime, t^\prime)$ 。狭义相对论指出两组坐标之间的变换关系满足Lorentz变换(Lorentz trasformation)：
$\left\{\begin{array}\ x^\prime=\gamma(x-vt)\\ y^\prime=y\\z^\prime=z\\ t^\prime=\gamma(t-\frac{v}{c^2}x) \end{array}\right.$
其中 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ ， $c$ 为光速。

Lorentz变换相关的重要结论可以参考狭义相对论相关教材。

四矢量

为更加简便地表述Lorentz变换，定义一组协变四矢量（covariant four-vector），也被称为协变坐标（covariant coordinates），用符号 $x^\mu(\mu = 0,\ 1,\ 2,\ 3)$ 表示，即 $x^0 = ct,\ x^1 = x,\ x^2 = y,\ x^3 = z.$

利用协变坐标， Lorentz变换可以写成如下形式：
$\left\{\begin{array}\ x^{0\prime}=\gamma(x^0-\beta x^1)\\ x^{1\prime}=\gamma(x^1-\beta x^0)\\ x^{2\prime}=x^2\\ x^{3\prime}=x^3 \end{array}\right.$

其中 $\beta = \frac{v}{c}$ 。Lorentz变换可以被进一步写成更加紧凑的形式： $x^{\mu\prime} = \Lambda^\mu_\nu x^\nu(\mu = 0, 1, 2, 3)$

针对上式给出如下说明：
(1) $\Lambda^\mu_\nu$ 是矩阵 $\Lambda$ 第 $\nu$ 列第 $\mu$ 行的矩阵元：
$\Lambda = \left(\begin{array}{cccc} \gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\ -\gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

(2) 上式使用了Einstein求和规则，右式 $\Lambda^\mu_\nu x^\nu$ 中指标 $\nu$ 出现了两次（称为哑指标），表示要对指标 $\nu$ 从 $0$ 到 $3$ 求和，即了 $\sum_{\nu=0}^3\Lambda^\mu_\nu x^\nu$ 并省略了 $\sum_{\nu=0}^3$ 。

在Lorentz变换中，变换前后不会发生变化的量称为不变量（invariance）。这个量记为 $I$ ，可以证明： $I = (x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 = (x^{0\prime})^2-(x^{1\prime})^2-(x^{2\prime})^2-(x^{3\prime})^2$

为了进一步简化表达式，引入Minkowski度规（the Minkowski metric） $g_{\mu\nu}$ ：
$g_{\mu\nu} = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)$

利用Einstein求和规则表述不变量 $I = g_{\mu\nu}x^\mu x^\nu$ 。

进一步，定义逆变四矢量(contravariant four-vector)，也被称为逆变坐标(contravariant ordinates) $x_\mu$ ，可以将不变量写得更加简洁：
$I=x_\mu x^\mu$

其中逆变坐标定义为： $x_\mu=g_{\mu\nu}x^\nu$ .

即 $x_0=x^0,\ x_1=-x^1,\ x_2=-x^2,\ x_3=-x^3$ 。上式也是协变坐标变换为逆变坐标的变换公式，两者通过Minkowski度规联系。同时得到 $x^\mu=g^{\mu\nu}x_\nu$ ，其中 $g_{\mu\nu}=g^{\mu\nu}$ 。

接下来讨论更加一般的两个协变坐标乘积的情况。给定两个四矢量分别写成 $a=a^\mu=(a^0,a^1,a^2,a^3)=(a^0, \boldsymbol{a})$ 和 $b=b^\mu=(b^0,b^1,b^2,b^3)=(b^0, \boldsymbol{b})$ ，它们之间的标量积(scalar product)定义为： $a\cdot b=a_\mu b^\mu=a^0b^0-a^1b^1-a^2b^2-a^3b^3=a^0b^0-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$

符号 $a^2$ 表示四矢量 $a$ 与自己的标量积： $a^2=a_\mu a^\mu=(a^0)^2-(a^1)^2-(a^2)^2-(a^3)^2=(a^0)^2-\boldsymbol{a}^2$

能量、动量与相对论碰撞

为了突出重点，这部分将直接介绍能量-动量四矢量(the energy-momentum four-vector，简称能动四矢)，也被称为四动量(four-momentum)，并根据标量积定义，得到著名的质壳关系(mass-shell relation)，最后讨论相对论碰撞中的守恒量。

对于一个质点，假设它的质量为 $m$ ，能量为 $E$ ，动量在三个方向上的分量为 $p_x$ ， $p_y$ ， $p_z$ ，则定义它的四动量为： $p^\mu=(\frac{E}{c},p_x,p_y,p_z)$

其中 $c$ 为光速。容易得到 $p_\mu=(\frac{E}{c},-p_x,-p_y,-p_z)$ 。四动量的标量积为： $p_\mu p^\mu=\frac{E^2}{c^2}-(p_x)^2-(p_y)^2-(p_z)^2=\frac{E^2}{c^2}-\boldsymbol {p}^2=m^2c^2$

上式称为质壳方程(mass-shell equation)。如果粒子四动量满足质壳方程，就说这个粒子在壳(on shell)，否则就说这个粒子不在壳(off shell)。关于质壳方程的证明，可以参考相关教材。需要注意：

(1)当粒子静止时，即 $\boldsymbol{p}=\boldsymbol{0}$ ，得到 $E=mc^2$ ，此即著名的质能关系式(mass-energy equivalence)；

(2)对于质量为 $0$ 的粒子，比如说光子，得到 $v=c$ ， $E=|\boldsymbol{p}|c$ ，即它的运动速度为光速，能量等于动量大小乘上速度大小。

接下来是相对论碰撞相关部分。在经典碰撞中有两条基本守恒定律，即能量守恒定律和动量守恒定律。在相对论碰撞中也满足能量守恒定律和动量守恒定律，被统称为能动量守恒定律。

对于两体碰撞（ $A+B \to C+D$ ），根据能量守恒，有 $E_A+E_B=E_C+E_D$ ；根据动量守恒，有 $\boldsymbol{p}_A+\boldsymbol{p}_B=\boldsymbol{p}_C+\boldsymbol{p}_D$ ；利用协变坐标，将这两条守恒定律写成 $p^\mu_A+p^\mu_B=p^\mu_C+p^\mu_D$ 。在实际运算过程中，通过标量积的形式表述它们的守恒律，即： $(p^\mu_A+p^\mu_B)^2=(p^\mu_C+p^\mu_D)^2$

上式和质壳方程是计算相对论碰撞过程的主要关系式。

在质心系下， $\boldsymbol{p}_B=-\boldsymbol{p}_A$ ， $\boldsymbol{p}_D=-\boldsymbol{p}_C$ ；在打靶实验中 $\boldsymbol{p}_B=\boldsymbol{0}$ 。将条件带入方程求解。

对于衰变（ $A \to B+C$ ），根据能量守恒有 $E_A=E_B+E_C$ ；根据动量守恒有 $\boldsymbol{p}_B+\boldsymbol{p}_C=\boldsymbol{0}$ 。同时 $E_A=m_Ac^2$ ，带入能量守恒可以求解出 $B$ 或 $C$ 的动量大小。

总结：狭义相对论将时间和空间放在坐标的同等位置上，这不同于牛顿力学中坐标只包含空间，此时时间和空间不得不同等看待。基于光速不变原理的Lorentz变换是一切狭义相对论结论的基础，不变量定义的度规矩阵揭示了狭义相对论成立的空间几何——双曲空间。时间与能量相联系，空间与动量相联系，从而得到四动量的表达式。通过协变坐标不变量的表达式得到四动量满足的质壳方程。

协变坐标与逆变坐标计算

协变坐标与逆变坐标计算

Lorentz变换

四矢量

能量、动量与相对论碰撞

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