活动投票
一个创业公司组织周末活动，老板征求大家意见，去玩密室逃脱或者去吃某个新开的自助餐。老板做出决定很简单，大家在群里投票，哪个票多就哪个。但有员工提出，最近某部才上映的电影也不错，可以一起加入活动待选项，老板同意了。
假设现在公司就只有3位员工，每个员工有6票，他们的投票得出了如下的结果：
员工1 密室：3 | 自助：2 | 电影：1
员工2 自助：3 | 电影：2 | 密室：1
员工3 电影：3 | 密室：2 | 自助：1
这个时候老板头疼了，因为结果中活动的总分都是一样，选择任何一个活动好像都不太合适。
通过这个例子可以看出，“尊重大多数”这种投票模式在一些的社会选择问题中是有毛病的。接下来我们就来简单聊聊社会选择问题。聊这个之前，我们先来看看两个定义，社会福利函数（social welfare function）和 社会选择函数（social choice function）。
社会福利函数与社会选择函数
我们经常可以看到社会福利函数和社会选择函数，那么它们到底是什么意思，我们花个2分钟来了解下。
社会福利函数的定义是 ：。其中
表示选项集合
(候选项) 的线性排序集合，
是参与投票人的数量。也就是说，社会福利函数是
到特定选项排序的线性映射。这么听上去可能有点绕，我们可以理解为社会福利函数是一个获取群体的偏好结果的函数，比如：
员工1= 密室：3 | 自助：2 | 电影：1
员工2= 密室：3 | 电影：2 | 自助：1
员工3= 电影：3 | 密室：2 | 自助：1
社会选择函数的定义是：。社会选择函数是
到选项集
的一个线性映射。我们可以把它看成是一个获取最终选择结果的函数，比如老板看了下投票，然后宣布：
走，去吃自助
策略操纵
搞清楚这两个函数概念后，我们接着再看另一个公司投票的例子，现在公司有4个员工，每个员工有10票，现在每个员工投票的真实评分（投票）如下：
员工1= 密室：4 | 自助：3 | 电影：2 | 卡丁车：1
员工2= 密室：3 | 自助：4 | 电影：1 | 卡丁车：2
员工3= 密室：2 | 自助：3 | 电影：2 | 卡丁车：3
员工4= 密室：2 | 自助：2 | 电影：3 | 卡丁车：2
可以发现，密室和自助的得票数都是12票，但员工2是个吃货，他太想去吃自助了。这个时候，他就动起了歪脑筋，为了保证密室的得票数低于自助，他在投票的的时候并没有按照自己的真实偏好（自助>密室>卡丁车>电影），而是将自己的投票数变为了：
员工2= 密室：1 | 自助：4 | 电影：3 | 卡丁车：2
这样，员工2就可以确保自助活动的票数最多,我们把这种投票方式称为策略操纵（strategic manipulation)。策略操纵行为的原因是对选项的偏好（密室>电影）受到了选项 自助 的影响。如果社会福利函数中，投票者对选项的偏好不会受到影响，那么我们称其社会福利函数满足独立性，定义如下：
独立性：一个社会福利函数满足独立性，仅当任意两个选项a和选项b的社会偏好仅取决于a，b本身的时候。
也就说，满足独立性的社会福利函数没有被策略操纵的空间。
独裁者
在来看另一个公司投票例子，现在还是4个员工，每人10票对活动进行投票，投票结果如下：
员工1= 密室：4 | 自助：3 | 电影：2 | 卡丁车：1
员工2= 密室：1 | 自助：4 | 电影：2 | 卡丁车：2
员工3= 密室：2 | 自助：3 | 电影：2 | 卡丁车：3
员工4= 密室：2 | 自助：2 | 电影：3 | 卡丁车：2
奇怪的是，最后大家一致决定去玩密室逃脱。原因是员工1是公司一位漂亮的单身女员工，其他员工都想参加她最喜欢的那个活动。在这个例子中，这位漂亮的女员工就是“独裁者”。在社会选择中，独裁者的定义如下：
独裁者：如果不管其他人的偏好，最终结果都与投票人
的偏好一致，那么我们说投票人
中是一个独裁者，并且社会福利函数为独裁关系。
Arrow 定理 与 Gibbard-Satterthwaite定理
明白独裁者和独立性的概念后，我们就可以来看一个大名鼎鼎的Arrow定理：
超过3个候选项（
）的社会福利函数，如果满足一致性和独立性，那么该社会福利函数一定是独裁关系的（有独裁者存在）。
其中一致性的意思是，如果大家都有一致的偏好，那么社会偏好也应当和大家的偏好保持一致的。
其证明可以参考：https://www.rochester.edu/college/faculty/markfey/papers/ArrowProof3.pdf
这个定理的确让人很失望，因为我们总是希望我们设计的产品机制没有独裁者，并且同时满足独立性和一致性。没有关系，因为我们还有更绝望的Gibbard-Satterthwaite定理。
结合前面所说，如果一个投票者可以通过改变自己的投票行为来获取想要的结果，我们就说社会选择函数 可以被该投票者操纵。但如果一个社会选择函数有如下性质，那么投票人将没有操纵的空间：
当社会选择函数
是单调的时候，那么投票人没有办法通过转换其投票策略来获取想要的结果。这种社会选择函数被称为是激励相容（incentive compatible）的（可以把激励理解为动机，也就是没有操纵的动机）。
有了这个概念后，最后我们来看看令人绝望的 Gibberish-Satterthwaite定理：
Gibberish-Satterthwaite定理: 如果社会选择函数
是激励相容的，那么当选项的个数大于3时（
Gibberish-Satterthwaite定理另人绝望的原因是，它告诉我们：如果选项大于3，设计出不会被操纵，没有独裁的选择机制是不可能的。但是，我们真的就没有办法了吗？ 也不是，在下几篇内容中，我们来看看还有什么骚操作。
ps：如果您有好的建议，欢迎交流 :-D，也欢迎访问我的个人博客 苔原带：tundrazone.com
