RS码原理

RS 码的一个特点是其符号和值都取自有限域GF(2m)，GF(2m)的元素αi取值范围为[0,2m-1]，有限域通过迭代生成，与m和本原多项式有关。

GF(2^8)表示域中有256个元素，除0，1之外的254个元素由本原多项式P(x)生成。

初始化前两项：第一项：0，第二项： α0 = 1；

迭代求𝛼𝑖：temp = 𝛼𝑖−1左移一位，如果αi-1第m-1位为 1（即移位后产生进位）

则αi等于移位结果 temp 除本原多项式取模，否则αi等于移位结果 temp。其中i∈ [1, 2m-2]，迭代2m-2次。

RS（n,k)码可以由m,k,n三个参数表示，其中m表示码元符号取自GF（),n为码字长度，k为信息段长度。对于一个可以纠正t个符号错误的RS码 ，有如下参数：

码字长度：个符号或者mn个比特

信息段:  k个符号或者km个比特

监督位： 2t=n-k个符号或者2mt个比特

最小码距： 2t+1个符号或者（2t+1)*m个比特

RS码的基本思想就是选择一个合适的生成多项式g(x)，使得码字多项式c(x）除以生成多项式所得到的余式为0。RS码的生成多项式一般按如下公式选择：

其中αi是GF()中的一个元素。如果用d(x)表示信息段多项式，则可以按照如下方式构造c(x)：首先计算商式h(x)和余式r(x)

取余式r(x)作为校验式，然后令

即将信息位放置于码字的前半部分，监督为放在码字的后半部分，这样有：

因此码字多项式c(x)必可被生成多项式g(x)整除，如果在接收方检测到余式不为0，则可以判断接收到的码字有错。