深入浅出统计学-11 总体和样本的估计

点估计量：由样本数据得出，是对总体参数的估计

• 在讨论总体参数的点估计量时，会为总体参数添上一个符号^。

  • 例如μ的点的估计量写作
    image-20210116120741846.png

样本均值

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• 样本的均值可用下列公式进行计算：

  • -
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  • 其中X代表样本的数值，n为样本的个数

• 通过计算
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  可得到总体均值的点估计量，即：

  • image-20210116121628160.png

  • 这说明，如果想十分近似地估计总体均值的真值，可以使用样本均值

总体方差的点估计量：

• image-20210116122357883.png

• 其中样本方差[图片上传失败...(image-1870b9-1611888182851)]

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  为：
  • image-20210116122215956.png
    
    比例的抽样分布：考虑从同一个总体中取得的所有大小为n的可能样本，由这些样本的比例形成一个分布，这就是”比例的抽样分布“。我们用P_s代表样本比例的随机变量

• 总体比例用p表示，即总体的成功的比例。

• P的点估计量为P_s其中P_s为样本成功的比例

  • image-20210116122729138.png

• P_s的计算方法是: 用样本的成功数目除以样本数目

  • image-20210116122934607.png

• P_s的期望和方差的定义式是：

  • image-20210116124143233.png
  • image-20210116124227680.png

  • 其中p为总体比例

  • 该分布的标准差称为比例标准差，其定义式为：

    • image-20210116124456767.png

  • 如果n > 30，则P_s符合正态分布，于是：

    • P_s~N(p,pq/n)

    • 使用这个公式需要进行连续性修正：

      • +-1/2n

均值的抽样分布：如果考虑同一个总体中所有大小为n的可能样本，然后用这些样本的均值形成分布，则该分布为”均值的抽样分布“，我们用

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• image-20210116121341868.png

  的期望和方差的定义式为：

  • image-20210116125130197.png
  • image-20210116125231022.png

  • 其中μ和σ²为总体的均值和方差

• ”均值的标准误差“等于该分布的标准差，即：

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  • 如果X~N(μ,σ²),则

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    ~N(μ,σ²/n)

• 中心极限定理说的是：如果n很大且X不符合正态分布，则：

  • image-20210116121341868.png
    ~N(μ,σ²/n)