一.背景

在 LOF 之前的异常检测算法大多是基于统计方法的，或者是借用了一些聚类算法用于异常点的识别（比如，DBSCAN，OPTICS）。这些方法都有一些不完美的地方：

基于统计的方法：通常需要假设数据服从特定的概率分布，这个假设往往是不成立的。

聚类方法：通常只能给出 0/1 的判断（即：是不是异常点），不能量化每个数据点的异常程度。

相比较而言，基于密度的LOF算法要更简单、直观。它不需要对数据的分布做太多要求，还能量化每个数据点的异常程度（outlierness）。

二.LOF 算法

首先，基于密度的离群点检测方法有一个基本假设：非离群点对象周围的密度与其邻域周围的密度类似，而离群点对象周围的密度显著不同于其邻域周围的密度。

什么意思呢？看下面图片感受下。

集群C1包含了400多个点，集群C2包含100个点。C1和C2都是一类集群点，区别是C1位置比较集中，或者说密度比较大。而像o1、o2点均为异常点，因为基于我们的假设，这两个点周围的密度显著不同于周围点的密度。

LOF 就是基于密度来判断异常点的，通过给每个数据点都分配一个依赖于邻域密度的离群因子 LOF，进而判断该数据点是否为离群点。如果 $LOF>=1$ ，则该点为离群点，如果 $LOF≈1$ ，则该点为正常数据点。

那什么是LOF呢？

了解LOF前，必须先知道一下3个基本概念，因为LOF是基于这几个概念而来的。

1. k邻近距离

在距离数据点P最近的几个点中，第k个最近的点跟点P之间的距离称为点P的K-邻近距离，记为k-distance (p)，公式如下：

$d_{k}(P)=d(P,O)$

点O为距离点P最近的第k个点。

比如上图中，距离点P最近的第4个点是点6。

这里的距离计算可以采用欧式距离、汉明距离、马氏距离等等。比如用欧式距离的计算公式如下：

$k$ 代表数据维度， $i$ 代表第 $i$ 个样本。

2. k距离领域

以点P为圆心，以k邻近距离 $d_{k}(P)$ 为半径画圆，这个圆以内的范围就是k距离领域，公式如下：

还是上图所示，假设k=4，那么点1-6均是邻域范围内的点。

3. 可达距离

这个可达距离大家需要留意点，点P到点O的第k可达距离：

这里计算P到点O的第K可达距离，就是在点P与O的距离、距离点O最近的第 k 个点距离中取较大的一个，如图下所示。

$p_{2}$ 距离 $o$ 远，那么两者之间的可达距离就是它们的实际距离。如果距离足够近，如点 $p_{1}$ ，实际距离将被 $o$ 的k距离代替。所有 $p$ 接近 $o$ 的统计波动 $d(p,o)$ 可以显著减少，这可以通过参数k来控制，k值越高，同一邻域内的点的可达距离越相似。

4. 局部可达密度

先给出公式。

数据点P的局部可达密度就是基于P的k个最近邻的平均可达距离的倒数。距离越大，密度越小。

5. 局部异常因子

根据局部可达密度的定义，如果一个数据点跟其他点比较疏远的话，那么显然它的局部可达密度就小。但LOF算法衡量一个数据点的异常程度，并不是看它的绝对局部密度，而是看它跟周围邻近的数据点的相对密度。

这样做的好处是可以允许数据分布不均匀、密度不同的情况。局部异常因子即是用局部相对密度来定义的。数据点p的局部相对密度（局部异常因子）为点P邻域内点（k个点）的平均局部可达密度跟数据点P的局部可达密度（上式的 $lrd_{k}(P)$ ）的比值，即：

三.LOF算法流程

了解了 LOF 的定义以后，整个算法也就显而易见了：

1.对于每个数据点，计算它与其它所有点的距离，并按从近到远排序。

2.对于每个数据点，找到它的k-nearest-neighbor，计算LOF得分。

计算得分分为三步：

第一步计算点P的局部可达密度；

第二步计算点P的k邻域内所有点局部可达密度的平均值；

第三步通过第二步计算结果与第一步计算结果的比值，得到LOF分数.

3.如果LOF值越大，说明越异常，反之如果越小，说明越趋于正常。

四.LOF优缺点

优点

LOF 的一个优点是它同时考虑了数据集的局部和全局属性。异常值不是按绝对值确定的，而是相对于它们的邻域点密度确定的。当数据集中存在不同密度的不同集群时，LOF表现良好，比较适用于中等高维的数据集。

缺点

LOF算法中关于局部可达密度的定义其实暗含了一个假设，即：不存在大于等于 k 个重复的点。

当这样的重复点存在的时候，这些点的平均可达距离为零，局部可达密度就变为无穷大，会给计算带来一些麻烦。在实际应用时，为了避免这样的情况出现，可以把 k-distance 改为 k-distinct-distance，不考虑重复的情况。或者，还可以考虑给可达距离都加一个很小的值，避免可达距离等于零。

另外，LOF 算法需要计算数据点两两之间的距离，造成整个算法时间复杂度为 $O(n^2)$ 。为了提高算法效率，后续有算法尝试改进。FastLOF （Goldstein，2012）先将整个数据随机的分成多个子集，然后在每个子集里计算LOF值。对于那些LOF异常得分小于等于 1 的，从数据集里剔除，剩下的在下一轮寻找更合适的 nearest-neighbor，并更新 LOF 值。

参考：https://www.zhihu.com/search?type=content&q=lof%E7%AE%97%E6%B3%95%E4%BB%8B%E7%BB%8D

异常检测算法-LOF（Local Outlie Factor）