子串：小于等于原字符串长度由原字符串中任意个连续字符组成的子序列

回文：关于中间字符对称的文法，即“aba”(单核)、“cabbac”(双核)等

最长回文子串：1.寻找回文子串；2.该子串是回文子串中长度最长的。

一、O(n^3)时间复杂度方法——暴力求解

1.思想：

1）从最长的子串开始，遍历所有该原字符串的子串；

2）每找出一个字符串，就判断该字符串是否为回文；

3）子串为回文时，则找到了最长的回文子串，因此结束；反之，则继续遍历。

2.时间复杂度解释：

    遍历字符串子串：嵌套一个循环、O(n^2)；   

    判断是否为回文：再次嵌套一个循环、O(n^3)。

3.C代码详解：

二、O(n^2)时间复杂度方法——从中心向外扩散

1.思想：

1）将子串分为单核和双核的情况，单核即指子串长度为奇数，双核则为偶数；

    2）遍历每个除最后一个位置的字符index(字符位置)，单核：初始low = 初始high = index，low和high均不超过原字符串的下限和上限；判断low和high处的字符是否相等，相等则low++、high++（双核：初始high = 初始low+1 = index + 1）；

3）每次low与high处的字符相等时，都将当前最长的回文子串长度与high-low+1比较。后者大时，将最长的回文子串改为low与high之间的；

4）重复执行2）、3），直至high-low+1 等于原字符串长度或者遍历到最后一个字符，取当前截取到的回文子串，该子串即为最长的回文子串。

2.时间复杂度解释：

   遍历字符：一层循环、O(n-1)；

   找以当前字符为中心的最长回文子串：嵌套两个独立循环、O(2n*(n-1)) = O(n^2)。

三、O(n)时间复杂度方法——Manacher算法

1.思想：

  1）将原字符串S的每个字符间都插入一个永远不会在S中出现的字符（本例中用“#”表示），在S的首尾也插入该字符，使得到的新字符串S_new长度为2*S.length()+1，保证Len的长度为奇数(下例中空格不表示字符，仅美观作用)；

        例：S：       a  a  b  a  b  b  a

        S_new:        #  a  #  a  #  b  #  a  #  b  #  b  #  a  #

    2）根据S_new求出以每个字符为中心的最长回文子串的最右端字符距离该字符的距离，存入Len数组中，即S_new[i]—S_new[r]为S_new[i]的最长回文子串的右段（S_new[2i-r]—S_new[r]为以S_new[i]为中心的最长回文子串），Len[i] = r - i + 1;

        S_new:        #  a  #  a  #  b  #  a  #  b  #  b  #  a  #

        Len:            1  2  3  2  1   4  1  4  1  2  5   2  1  2  1

        Len数组性质：Len[i] - 1即为以Len[i]为中心的最长回文子串在S中的长度。在S_new中，以S_new[i]为中心的最长回文子串长度为2Len[i] - 1，由于在S_new中是在每个字符两侧都有新字符“#”，观察可知“#”的数量一定是比原字符多1的，即有Len[i]个，因此真实的回文子串长度为Len[i] - 1，最长回文子串长度为Math.max(Len) - 1。

    3）Len数组求解（线性复杂度（O(n)））：

       a.遍历S_new数组，i为当前遍历到的位置，即求解以S_new[i]为中心的最长回文子串的Len[i];

b.设置两个参数：sub_midd = Len.indexOf(Math.max(Len)表示在i之前所得到的Len数组中的最大值所在位置、sub_side = sub_midd + Len[sub_midd] - 1表示以sub_midd为中心的最长回文子串的最右端在S_new中的位置。起始sub_midd和sub_side设为0，从S_new中的第一个字母开始计算，每次计算后都需要更新sub_midd和sub_side；

c.当i < sub_side时，取i关于sub_midd的对称点j（j = 2sub_midd - i，由于i <= sub_side，因此2sub_midd - sub_side <= j <= sub_midd);当Len[j] < sub_side - i时，即以S_new[j]为中心的最长回文子串是在以S_new[sub_midd]为中心的最长回文子串的内部，再由于i、j关于sub_midd对称，可知Len[i] = Len[j];

当Len[j] >= sub.side - i时说明以S_new[i]为中心的回文串可能延伸到sub_side之外，而大于sub_side的部分还没有进行匹配，所以要从sub_side+1位置开始进行匹配，直到匹配失败以后，从而更新sub_side和对应的sub_midd以及Len[i]；

d.当i > sub_side时，则说明以S_new[i]为中心的最长回文子串还没开始匹配寻找，因此需要一个一个进行匹配寻找，结束后更新sub_side和对应的sub_midd以及Len[i]。

2.时间复杂度解释：

        算法只有遇到还没匹配的位置时才进行匹配，已经匹配过的位置不再进行匹配，因此大大的减少了重复匹配的步骤，对于S_new中的每个字符只进行一次匹配。所以该算法的时间复杂度为O(2n+1)—>O(n)（n为原字符串的长度），所以其时间复杂度依旧是线性的。

3.c代码详解：

转自https://blog.csdn.net/qq_32354501/article/details/80084325