假想的数字-虚数

相传古希腊的数学家和机械学家海伦最早发现了平方后值等于-1的数。但是，关于虚数是否具有数学意义，足足让数学家们烦恼了1000多年。比如笛卡尔就不相信虚数的存在，认为它不存在于现实中，而是数学家假想出来的数字，所以给它取名“imaginary number”。

复数真正在数学中获得一席之地，主要归功于高斯。因为高斯提出了将复数表示为平面内的位置。有趣的是，笛卡尔对复数的存在持怀疑态度，最终高斯却是使用他所发现的笛卡尔坐标给复数奠定了基础。表示复数的平面称为“复平面”或“高斯平面”。

实数 x 复数

$a \times (c + id) = a\times c + ia \times d$
将其带入高斯平面，即 $(c,d)$ 变成了 $(a\times c, a \times d)$ ，即复数 $(c, d)$ 到原点的距离伸长了 $a$ 倍。

虚数 x 复数

$i \times (c+id) = ic - d = -d + ic$
将其带入高斯平面，即 $(c,d)$ 变成了 $(-d, c)$ ，相当于 $(c,d)$ 围绕原点逆时针旋转了90度。如果连续乘以两次虚数，相当于旋转了180度，与乘以-1的结果一致。这同时也证明了 $i\times i=-1$ 。

复数 x 复数

$(a + ib) \times (c + id) = a \times (c+id) + ib \times (c+id)$
假设 $\tan \theta = b / a，r=\sqrt{a^2 + b^2}$ ，则 $(a + ib) \times (c + id)$ 相当于 $(c+id)$ 以原点为中心旋转 $\theta$ 度，再伸长 $r$ 倍。

二次方程的根

只要使用复数，就能解所有的二次方程。对于任何实数 $A,B,C$ ：
$Ax^2 + Bx + C = 0$
的根等于
$x=\frac{-B\pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}$
在 $B^2 - 4AC < 0$ 的情况下，只要将其看作：
$x=\frac{-B\pm i\sqrt{4AC-B^2}}{2A}$
即可。
即使 $A,B,C$ 均为复数，上述公式同样成立。

实际上，不管是几次方程，只要使用复数就能迎刃而解。这也是数学定理中最重要的定理之一，即“代数基本定理”。高斯在他22岁时出版的学位论文中成功证明了这条定理。而且，高斯还意识到这条定理的重要性，后来又提出了3种不同的证明方法。最后一次证明是在他72岁的时候，距离第一次证明时隔50年。(敬佩！！！)

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