第29课相似矩阵和若尔当形

何谓相似？

两个矩阵相似意味着什么？

正定从何而来？

正定阵来自最小二乘法，大量的物理问题需要用长方形矩阵描述，最小二乘法的关键在于矩阵 $A^TA$ ，希望证明 $A$ 是一个正定阵。

假设 $A$ 是正定的，意味差 $A$ 是对称阵，即为对称正定阵。 $A$ 逆矩阵的特征值等于 $A$ 阵特征值的倒数， $A$ 逆矩阵也是正定的，因为 $A$ 特征值全为正数，所以倒数也为正数

$A$ 和 $B$ 都是正定的可得， $C=A+B$ 也是正定的
$x^TAx>0;x^TBx>0 \to x^T(A+B)>0$

证明最小二乘法为正定的：
$A_{mn};m\ne n \to B=A^TA，B为方阵且对称\\ x^T\underbrace{A^TA}_{B}x=(x^TA^T)(Ax)=(Ax)^T(Ax)=||Ax||^2\ge0$
如果零空间没有其它向量则， $r=n$ ，矩阵 $A$ 各列线性无关，确保 $A^TA$ 正定，如果 $A^TA$ 可逆，最小二乘方程将存在最优解，所以 $A^TA$ 为正定阵

$A$ 和 $B$ 为相似阵， $n\times n$ ，存在某个可逆矩阵 $m$ 使得 $B$ 可以表示为 $A$
$B=m^{-1}Am$

例： $A$ 有无关的特征向量，也就是存在特征向量矩阵 $S$
$S^{-1}\Lambda S,\Lambda为简洁的对角阵$
按照新说活， $A$ 相似于 $\Lambda$ ，矩阵 $A$ 的所有相似阵里面 $\Lambda$ 是最好的
$A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}; \Lambda=\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}\\ m=\begin{bmatrix}1&4\\0&1\end{bmatrix}; m^{-1}=\begin{bmatrix}1&-4\\0&1\end{bmatrix}\\ m^{-1}Am=\begin{bmatrix}1&-4\\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&4\\0&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&-4\\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&9\\1&6\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-2&-15\\1&6\end{bmatrix}=B$
$A$

*** $A$ 与 $B$ 具有相同的特征值，因为相似 (重要性质)

$\lambda=3,1$ ，通过迹来验证， $A_{迹}=2+2=4;B_{迹}=-2+6=4$

例：证明相似阵特征值相同这一重要性质
$m=\begin{bmatrix}3&7\\0&1\end{bmatrix}; m^{-1}=\begin{bmatrix}1&7\\0&3\end{bmatrix}\\ Ax=\lambda x,A的特征值\lambda\\ B=m^{-1}Am,B的特征值？\\ Ax=\lambda x \to Amm^{-1}x=\lambda x \underbrace{\to}_{同时左乘m^{-1}}m^{-1}Amm^{-1}x= \lambda m^{-1}x\\ \to (m^{-1}Am)m^{-1}x=\lambda m^{-1}x \to Bm^{-1}x=\lambda m^{-1}x\\ \to Bx=\lambda x \to 表明\lambda是B的一个特征值，但特征向量并不相等$
$B$ 的特征向量等于 $m^{-1}$ 乘以矩阵 $A$ 的特征向量

对角阵的特征向量分别是 $(1,0),(0,1)$ ，特征值不变，相似矩阵的特征值保持不变

相似矩阵特征向量可能不再线性无关，矩阵可能无法对角化(坏情况： $\lambda_1=\lambda_2$ ，矩阵可能无法对角化)

$4I=\begin{bmatrix}4&0\\0&4\end{bmatrix}$ 除外，其余矩阵属于另一类，该阵只和自己相似，意味着只有一个特征向量，它将无法对角化，把1改为 $10$ 或 $10^6$ ，同样可以找到 $m$ 使它和原矩阵相似，为1时，是这类矩阵最好的一个，称为若尔当标准型，它是最简洁，最接近对角阵的一个
$\underbrace{ \left[ \begin{array}{ccc|c} 0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0 \end{array} \right] }_{A}\\ \lambda=0,0,0,0\\ 2个线性无关的特征向量\\ 零空间维数等于2(N(A)=2)\\ 若尔当分块3\times3,1\times1$

$\underbrace{ \begin{bmatrix}0&1&7&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix} }_{B}\\ \lambda=0,0,0,0\\ 2个线性无关的特征向量\\ N(A)=2\\$

$A$ 和 $B$ 相似。

注意对角线上方的1,每增加一个1特征向量就减少1个。

例：若尔当分块 $2\times2,2\times2$
$\left[ \begin{array}{cc|cc} 0&1&0&0\\0&0&0&0\\\hline0&0&0&1\\0&0&0&0 \end{array} \right]$
若尔当分块： $J_i$ 表示 $i$ 阶的若尔当块，每个方阵 $A$ 都相似于一个若尔当阵 $J$ ，就是由若尔当块构成的矩阵

第29课 相似矩阵和若尔当形

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