悖论带来的…… 课程分享26
这是通识选修课《社会科学与数学》第一讲《哲学与数学》第四节和第五节的内容。讨论了悖论及其所带来的数学危机和数学流派。
第一讲 哲学与数学
四、悖论
1.罗素悖论
集合可以分为两类，第一类集合的特征是：集合本身又是集合中的元素，例如当时人们经常说的“所有集合所成的集合”；第二类集合的特征是：集合本身不是集合的元素，例如直线上点的集合。显然，一个集合必须是并且只能是这两类集合中的一类。现在假定R是所有第二类集合所成的集合。那么，R是哪一类的集合呢？
罗素悖论一个通俗的说法是理发师悖论，是在1897年由另一位数学家福尔蒂提出来的。
一个理发师的告示上写着：城里所有不给自己理发的人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。
谁给这位理发师理发呢？
如果他自己理发，那他就属于自己理发的那类人。但是，他的告示说明他不给这类人理发，因此他不能自己来理。
如果另外一个人来给他理发，那他就是不自己理发的人。但是，他的告示说他要给所有这类人理发，因此其他任何人也不能给他理发。
在逻辑学历史上最富戏剧性的危机之一就与这个悖论有关。德国的著名逻辑学家哥特洛伯·弗里兹写完了他最重要的著作《算法基础》第二卷，他认为他在这本书中确立了一套严密的集合论，可作为整个数学的基础。1902年，当该书付印时，他收到了罗索的信，他得知上面那条悖论。弗里兹的集合论容许由一切不是它自身的元素的集合构成的集合。正如罗素在信中澄清的，这个表面上结构完美的集合却是自相矛盾的。弗里兹在收到罗素的信后，只来得及插入一个简短的附言：
“一个科学家所遇到的最不合心意的事，莫过于是在他的工作即将结束时使其基础崩溃了，我把罗素的来信发表如下……”
据说，弗里兹使用的词“不合心意”（undesirable）是数学史上最词不达意的说法了。
伯特纳德·罗素（Bertrand Russell，1872-1970）是20世纪英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家，无神论或者不可知论者，也是上世纪西方最著名、影响最大的学者和和平主义社会活动家。罗素也被认为与弗雷格、维特根斯坦和怀特海一同创建了分析哲学。他与怀特海合著的《数学原理》对逻辑学、数学、集合论、语言学和分析哲学有着巨大影响。
1950年，罗素获得诺贝尔文学奖。这大概是历史上不多的，不是因为写小说、诗歌等纯文学作品而获得诺贝尔文学奖的人，另一位应该大名鼎鼎的温斯顿·丘吉尔。
罗素悖论使集合理论产生了危机，史称第三次数学危机。集合论中为什么会产生矛盾？这个非常根本的问题，涉及数学逻辑推理的可信性和数学命题的真理性问题，属于数学哲学的范畴。
从1900年到1930年的30年间，许多数学家卷入了这场关于数学哲学基础的讨论，并逐渐形成不同的数学基础学派的争论，主要有逻辑主义、形式主义和直觉主义三个学派。
2．芝诺悖论——阿基里斯与乌龟
公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让飞毛腿阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。
现在来看，这其实就是微积分中的无穷求和问题，也是哲学中的量变质变原理。
芝诺(埃利亚) (Zeno of Elea)约公元前490年生于意大利半岛南部的埃利亚；约公元前425年卒。数学家、哲学家。
3．说谎者悖论
公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。”如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。
公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以自圆其说。
五、历史上的三次数学危机
数学是人类探索科学之路的重要理论和方法，通常站在数学研究前沿的国家，其科学技术水平的比较高，这在欧洲崛起的道路上已经得到了证实。但是，作为一个科学理论和方法，它一定是对的吗？看一下历史上著名的三次数学危机。
第一次数学危机——公元前470年无理数的出现
在公元前5世纪的古希腊，出现了一位伟大的数学家——毕达哥拉斯，毕达哥拉斯发现了著名的勾股定理定理，并证明了该定理，在那个时代，毕达哥拉斯就是数学界的权威，他组建了毕达哥拉斯学派，汇集了当时古希腊一流的数学人才。
毕达哥拉斯有一个观点，就是所有的数字都可以表示成整数或者整数之比，比如0.3333……可以表示为1/3。有一天毕达哥拉斯学派的一个学生希帕索斯发现，等腰直角三角形的斜边无法用整数来表示，于是告诉了毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯一开始没觉得有什么问题，猜想一定是这位学生算错了，结果自己算了算也发现了不能用整数表达的数，如果他不承认这个结果，就说明他发现的勾股定理是错的，毕达哥拉斯当然不能否定自己，于是煽动学派成员把希帕索斯扔进爱琴海淹死了。
但是科学是不以人的意志为转移的，处死希帕索斯并不能解决这个悖论。直到1872年，德国数学家戴德金才以有理数分割的理论结束了第一次数学危机，无理数正式纳入了数学体系当中，此时距离希帕索斯殉难已经过了2300多年了。
第二次数学危机——17-18世纪无穷小是什么
第二次数学危机萌芽于古希腊，最著名的描述是“芝诺的乌龟”，即“芝诺悖论”。中国古书《庄子·天下篇》也有直白的描述：一尺之棰，日取其半，万世不竭。即把一根一尺长的木棍，每次截去一半，接着截取一半的一半，如此反复，虽然木棍在变短，但永远截不完。
无穷小是微积分理论的基石，如果不解决这个问题，那么微积分在理论上就是不完备的，那么很多基于微积分的理论就不能说是完全对的，那么包括牛顿力学体系在内的重要数学推论也就不能成立了。
自从第二次数学危机出现后，无数的数学家都在试图修补这个漏洞，但是这种体系性的漏洞是很难补全的，因此第二次数学危机一直持续到了19世纪70年代，在前人研究的基础上，数学家威尔斯特拉斯、狄德金、康托尔等人建立了实数理论，才将这个问题解决。
不过，第二次数学危机也带来了很多好处，在解决这个问题的道路上，人类在数学、天文、物理等领域的发展突飞猛进，我们现在使用的很多技术都与这些相关，可以说，没有第二次数学危机，就没有现代社会。
第三次数学危机——罗素悖论
这个悖论是满足集合论原理的，而且集合论现在已经深入到了数学的各个方面，如果这个悖论不解决，集合论就是有漏洞的。
至今为止，第三次数学危机也没有得到完美的解决。1931年，数学家哥德尔提出了不完备定律，证明了数学本身在理论上就是不完备的，所以数学的发展远没有结束。
六、三大数学流派
19世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。
可是，很快就有人发现，集合论是有漏洞的，这就是罗素悖论。可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响导致了第三次数学危机。
罗素悖论使得数学基础问题第一次以最迫切的需要姿态摆在数学家面前，导致了许多数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派。
从1900年到1930年这30年间，许多数学家就数学的哲学基础这一问题展开了讨论，并形成了不同的数学基础学派，主要有逻辑主义、形式主义和直觉主义三大学派。
1.逻辑主义
“数学即逻辑”。逻辑主义的主要代表人物是罗素，在《数学的原理》及《数学原理》中，罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题，它可以分析为三部分内容：
1）每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。简单来讲，即每条数学真理都能够表示为真正的逻辑命题。
2）每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译，则它就是逻辑真理。
3）每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题，就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。
2.形式主义
一般认为形式主义的奠基人是希尔伯特。希尔伯特建议两条最基本的原则：
1）形式主义原则：所有符号完全看做没有意义的内容，即使将符号、公式或证明的任何有意的意义或可能的解释也不管，而只是把它们看作纯粹的形式对象，研究它们的结构性质；
2）有限主义原则，即总能在有限机械步骤之内验证形式理论之内一串公式是否一个证明。应用数学方法于这样一个形式理论，避免涉及无穷的推断，这就排除了康托尔集合论的方法。这个思想是只应用靠得住的方法，因为要证明数学或其一部分无矛盾的方法是大家公认可靠的，整个数学才有牢固的基础。
3.直觉主义
直觉主义的奠基者和代表人物是荷兰数学家克劳威尔。
在数学哲学中，直觉主义,或者新直觉主义 (对应于前直觉主义),是用人类的构造性思维活动进行数学研究的方法。
任何数学对象被视为思维构造的产物，所以一个对象的存在性等价于它的构造的可能性。这和经典的方法不同，因为经典方法说一个实体的存在性可以通过否定它的不存在性来证明。对于直觉主义者，这是不正确的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的构造证明。正因为如此，直觉主义是数学结构主义的一种；但它不是唯一的一类。
直觉主义把数学命题的正确性和它可以被证明等同起来；如果数学对象纯粹是精神上的构造还有什么其它法则可以用作真实性的检验呢(如同直觉主义者会争论的一样)？这意味着直觉主义者可能和经典的数学家对一个数学命题的含义有不同理解。例如，说A或B,对于一个直觉主义者，是宣称A或B可以证明。特别的有，排中律, A或非A,是不被允许的，因为不能假设人们总是能够证明命题A或它的否命题。
直觉主义也拒绝实际无穷的抽象，也就是说，它不考虑象所有自然数的集合或任意有理数的序列无穷这样的无穷实体作为给定对象。这要求将集合论和微积分的基础分别重新构造为构造主义集合论和构造主义分析。
历史证明，三大流派都有各自的优点和缺陷，但是他们弥补了数学基础的很多不足，为数学的严密性提供了更加精确的符号和语言。
