陀螺的规则进动及其近似理论

陀螺示意图：

陀螺.png

陀螺具有质量对称轴，并绕此对称轴（也称自转轴）做高速旋转的定点运动的刚体。

设陀螺绕自转轴 $Oz'$ 以角速度 $\pmb \omega_{\varphi} = \dot{\varphi} \pmb k'$ （也称自旋角速度）旋转；自转轴同时以恒定的角速度 $\pmb \omega_{\psi} = \dot{\psi} \pmb k$ （也称进动角速度）绕空间的某一固定轴 $Oz$ 转动， $Oz$ 轴和 $Oz'$ 轴的夹角（称为章动角）为 $\theta$ 。

设 $Oz$ 轴和 $Oz'$ 轴所确定的平面的单位法向量（节线方向）为 $\pmb n = \pmb k \times\pmb k'/sin\theta$ ，另一个单位向量为 $\pmb b = \pmb k' \times \pmb n$ 。

设陀螺在运动过程中， $\theta$ 、 $\dot{\psi}$ 为常量，作用在陀螺上的外力矩的矢量和在自转轴 $Oz'$ 上的投影为零（外力作用线与自转轴相交或平行）。根据刚体定点运动的欧拉动力学方程：
$J_{x'} {{d\omega_{x'}}\over{dt}} + (J_{z'}-J_{y'})\omega_{y'}\omega_{z'}=M_{x'}\\ J_{y'} {{d\omega_{y'}}\over{dt}} + (J_{x'}-J_{z'})\omega_{z'}\omega_{x'}=M_{y'}\\ J_{z'} {{d\omega_{z'}}\over{dt}} + (J_{y'}-J_{x'})\omega_{x'}\omega_{y'}=M_{z'}$
陀螺的动力学方程为
$\begin{aligned} J_{x'} \dot{\omega}_{x'} + (J_{z'}-J_{y'})\omega_{y'}\omega_{z'} & =M_{x'}\\ J_{y'} \dot{\omega}_{y'} + (J_{x'}-J_{z'})\omega_{z'}\omega_{x'} & =M_{y'}\\ J_{z'} \dot{\omega}_{z'} + (J_{y'}-J_{x'})\omega_{x'}\omega_{y'} & =0 \end{aligned} \tag1$

考虑到陀螺运动特点： $\theta$ 、 $\dot{\psi}$ 为常量，根据欧拉运动学方程：
$\begin{aligned} \omega_{x'} & = \dot{\psi}sin\theta sin\varphi+\dot{\theta}cos\varphi\\ \omega_{y'} & = \dot{\psi}sin\theta cos\varphi-\dot{\theta}sin\varphi\\ \omega_{z'} & = \dot{\psi}cos\theta + \dot{\varphi} \end{aligned}$
可得：
$\begin{split} \omega_{x'} &= \dot{\psi}sin\theta sin\varphi\\ \omega_{y'} &= \dot{\psi}sin\theta cos\varphi\\ \omega_{z'} &= \dot{\psi}cos\theta + \dot{\varphi} \end{split} \tag2$
上式对时间求导可得：
$\begin{aligned} \dot{\omega}_{x'} &= \dot{\psi} \dot{\varphi}sin\theta cos\varphi\\ \dot{\omega}_{y'} &= -\dot{\psi}\dot{\varphi}sin\theta sin\varphi\\ \omega_{z'} &= \ddot{\varphi} \end{aligned}\tag3$
将式（2）和式（3）代入式（1），整理得：
$\begin{aligned} J_{x'}\dot{\varphi}cos\varphi+(J_{z'}-J_{y'})cos\varphi(\dot{\psi}cos\theta+\dot{\varphi}) = {M_{x'}\over{\dot{\psi}sin\theta}}\\ -J_{y'}\dot{\varphi}sin\varphi+(J_{x'}-J_{z'})sin\varphi(\dot{\psi}cos\theta+\dot{\varphi}) = {M_{y'}\over{\dot{\psi}sin\theta}}\\ J_{z'}\ddot{\varphi}+{(J_{y'}-J_{x'})\over2}(\dot{\psi}sin\theta)^2sin2\varphi=0 \end{aligned} \tag4$
将式（4）中的第一个方程两边乘以 $cos\varphi$ ，第二个方程两边乘以 $sin\varphi$ ，然后两式相减得到：
$(J_{x'}cos^2\varphi+J_{y'}sin^2\varphi)\dot{\varphi}+[J_{z'}-(J_{y'}cos^2\varphi+J_{x'}sin^2\varphi)](\dot{\psi}cos\theta+\dot{\varphi}) = {M_n\over\dot{\psi}sin\theta} \tag5$
其中， $M_n=M_{x'}cos\varphi-M_{y'}sin\varphi$ 为外力矩矢量和在节线上的投影。

将式（4）中的第一个方程两边乘以 $sin\varphi$ ，第二个方程两边乘以 $cos\varphi$ ，然后两式相加得到：
$(J_{x'}-J_{y'})sin2\varphi(\dot{\psi}cos\theta+2\dot{\varphi}) = {2M_b\over\dot{\psi}sin\theta}\tag6$
其中， $M_b=M_{x'}sin\varphi+M_{y'}cos\varphi$ 为外力矩矢量和在单位向量 $\pmb b$ 上的投影。

$\pmb n,\pmb b,x',y'$ 的关系示意图：

坐标系.png

因此，陀螺运动的动力学方程可由式（5）、式（6）以及式（4）中的第三个方程构成，即
$\begin{aligned} (J_{x'}cos^2\varphi+J_{y'}sin^2\varphi)\dot{\varphi}+[J_{z'}- (J_{y'}&cos^2\varphi+J_{x'}sin^2\varphi)](\dot{\psi}cos\theta+\dot{\varphi}) = {M_n\over\dot{\psi}sin\theta}\\ (J_{x'}-J_{y'})sin2\varphi(\dot{\psi}&cos\theta+2\dot{\varphi}) = {2M_b\over\dot{\psi}sin\theta}\\ J_{z'}\ddot{\varphi}+{(J_{y'}-J_{x'})\over2}&(\dot{\psi}sin\theta)^2sin2\varphi =0 \end{aligned} \tag7$

当定点运动刚体对定点 $O$ 的两个惯量主轴的转动惯量相等时（如 $J_{x'}=J_{y'}$ ），则称刚体为动力学对称。由于陀螺通常为绕质量对称轴 $Oz'$ 的旋转体，因此 $J_{x'}=J_{y'}=J$ 。式（7）可表示为：
$\begin{split} & [J_{z'}(\dot{\psi}cos\theta+\dot{\varphi})-J\dot{\psi}cos\theta]\dot{\psi}sin\theta=M_n\\ & 0=M_b\\ & \ddot{\varphi}=0 \end{split} \tag8$
若陀螺在运动过程中， $\theta$ 、 $\dot{\varphi}$ 、 $\dot{\psi}$ 保持为常量，则称陀螺作规则进动。式（8）为陀螺规则进动的动力学方程。方程表明：陀螺自旋角速度大小不变，外力矩矢量始终平行于节线且大小为常量。

陀螺作规则进动的要求：作用在陀螺上的外力对 $O$ 点之矩有： $M_o=M_n \pmb n$ ，其中 $M_n$ 由式（8）中的第一方程给出。

两种特殊情况：

（1）若 $Oz$ 轴和 $Oz'$ 轴垂直时，式（8）中第一个方程表示为：
$J_{z'}\dot{\varphi}\dot{\psi}=M_n \tag9$
（2）若 $|\dot{\varphi}|>>|\dot{\psi}|$ ，并略去 $\dot{\psi}^2$ 项时，式（8）中第一个方程可以表示为：
$J_{z'}\dot{\varphi}\dot{\psi}sin\theta=M_n \tag{10}$
还可以将式（10）表示成矢量形式：
$\pmb \omega_{\psi}\times J_{z'}\pmb \omega_{\varphi} = \pmb M_o \tag{11}$
式（11）称为陀螺近似理论的进动方程。当 $Oz\bot O{z'}$ 时，陀螺近似理论的进动方程恰好给出的是精确解。

对陀螺施加外力矩 $\pmb M_o$ 的物体将受到陀螺的反作用力矩，设该力矩为 $\pmb M_g$ ，从而： $\pmb M_g=\pmb M_o$

力矩 $\pmb M_g$ 也称为陀螺力矩。

陀螺力矩的作用效应称为陀螺效应。在具有高速转动部件的装置中，只要自转轴被迫在空间中改变方向，就会产生陀螺效应。

证明：刚体绕最大或最小惯量主轴的转动是稳定的

设 $z'$ 轴是刚体的最大或最小惯量主轴，证明： $\omega_{z'0}\approx \omega_{z'}(t),\pmb k'_0 \approx \pmb k$

根据欧拉动力学方程，当刚体作定轴转动运动时，外力对质心之矩为零，则：
$\begin{eqnarray*} J_{x'} {{d\omega_{x'}}\over{dt}} + (J_{z'}-J_{y'})\omega_{y'}\omega_{z'}=0 \tag1\\ J_{y'} {{d\omega_{y'}}\over{dt}} + (J_{x'}-J_{z'})\omega_{z'}\omega_{x'}=0 \tag2 \\ J_{z'} {{d\omega_{z'}}\over{dt}} + (J_{y'}-J_{x'})\omega_{x'}\omega_{y'}=0 \tag3 \end{eqnarray*}$
$(1)\times (J_{z'}-J_{x'})\omega_{x'}+(2)\times (J_{z'}-J_{y'})\omega_{y'}$ 得：
$J_{x'}(J_{z'}-J_{x'})\dot{\omega}_{x'}\omega_{x'}+J_{y'}(J_{z'}-J_{y'})\dot{\omega}_{y'}\omega_{y'}=0$
设 $A=J_{x'}(J_{z'}-J_{x'})\space B= J_{y'}(J_{z'}-J_{y'})$ 。根据 $z'$ 轴的性质，可得： $A \cdot B > 0$
$A\dot{\omega}_{x'}\omega_{x'}+B\dot{\omega}_{y'}\omega_{y'}=0$
两边同时乘以 $dt$ ，
$A\omega_{x'}d\omega_{x'}+B\omega_{y'}d\omega_{y'} = 0$
积分得
$A\omega_{x'}^2+B\omega_{y'}^2 =C \tag4$
由 $A、B$ 同号知 $A、B、C$ 同号，不妨设： $A>0、B>0、C>0$

初始 $t_0$ 时，有 $C=A\omega_{x'}^2(t_0)+B\omega_{y'}^2(t_0) \tag5$

若 $t=t_0$ 时，刚体角速度仅沿 $z'$ 方向，即
$|\omega_{x'}(t_0)|<\epsilon，|\omega_{y'}(t_0)|<\epsilon$
由式（5）得：
$C<(A+B)\epsilon^2$

由式（4）得：
$|\omega_{x'}(t)| \le \sqrt{C\over A} < \epsilon\sqrt{{A+B}\over A} <M\epsilon = \epsilon^*\\ |\omega_{y'}(t)| \le \sqrt{C\over B} < \epsilon\sqrt{{A+B}\over B} <M\epsilon = \epsilon^*$
其中， $M = max\{\sqrt{{A+B}\over A}，\sqrt{{A+B}\over B}\}$

当 $t>t_0$ 时，必有
$|\omega_{x'}(t)|<\epsilon^*，|\omega_{y'}(t)|<\epsilon^* \tag6$

刚体对质心 $C$ 的动量矩为： $\pmb L_C =J_{x'}\omega_{x'} \pmb i'+J_{y'}\omega_{y'}\pmb j'+J_{z'}\omega_{z'} \pmb k'$

由于外力对质心之矩为零，故： ${{d\pmb L_C}\over{dt}} = 0$ ，即 $L_C(t) = L_C(t_0) \tag7$

当 $t= 0$ 时，刚体作定轴转动， $t=t_0$ 时，受到一个微小的扰动，使得：
$|\omega_{x'}(t_0)| \le \epsilon，|\omega_{y'}(t_0)|\le\epsilon，|\omega_{z'0}|>>1$
则有：
$\pmb L_C(t_0)=J_{x'}\omega_{x'}(t_0) \pmb i_0'+J_{y'}\omega_{y'}(t_0) \pmb j_0'+J_{z'}\omega_z'(t_0) \pmb k_0' \approx J_{z'}\omega_{z'0}\pmb k_0'$
当 $t>t_0$ 时，由式（6）可知：
$\pmb L_C(t)=J_{x'}\omega_{x'}(t) \pmb i'+J_{y'}\omega_{y'}(t) \pmb j'+J_{z'}\omega_z'(t) \pmb k' \approx J_{z'}\omega_{z'}\pmb k'$
结合式（7），得： $\omega_{z'0} \approx \omega_{z'}(t)，\pmb k_0'\approx \pmb k'$

即定轴转动刚体，当转速足够大时，受到微小扰动后，其之后的运动是稳定的，扰动对刚体运动的影响不随时间的增加而增加。

参考资料：《理论力学（第二版）》（谢传锋王琪主编）