首先，由于这个问题求的是“最少的翻转次数”，这是求一个问题的最优解。通常当我们需要求解一个问题的最优解（求最大值或最小值）的时候，可以考虑动态规划。
动态规划总是从递归的分析开始。如果一个只包含'0'和'1'的字符串的长度为i。在翻转第i个字符的时候，我们假设它的前i-1个字符都已经按照规则翻转完毕，并得到一个长度为i-1的单调递增字符串。
如果前i-1个字符在翻转某些'0’、'1'之后，得到的单调递增字符串的最后一个字符是'0'，那么无论第i个字符是'0'还是'1'，这i个字符组成的字符串都是单调递增的。
如果前i-1个字符在翻转某些'0’、'1'之后得到的单调递增字符串的最后一个字符是'1'，那么我们必须保证第i个数字是1，才能确保前i个字符组成的字符串是单调递增的。
由于翻转第i个字符依赖前i-1个字符翻转之后最后一个字符是0还是1，因此我们要分两种情况讨论。
假设函数f(i)表示把字符串前i个字符变成单调递增字符串所需要的最少翻转次数，同时翻转之后最后一个数字是0。当第i个字符是0时，f(i)=f(i-1)；当第i个字符是1时，f(i)=f(i-1)+1，因为要把第i个字符翻转成0。
假设函数g(i)表示把字符串前i个字符变成单调递增字符串所需要的最少翻转次数，同时翻转之后最后一个数字是1。当第i个字符是0时，g(i)=min[f(i-1), g(i-1)] + 1，因为要把第i个字符翻转成1；当第i个字符是1时，g(i)=min[f(i-1), g(i-1)]。由于第i个字符是1，那么前i-1个字符翻转之后最后一个字符无论是0还是1，翻转之后前i个字符一定是单调递增的。
一般动态规划相关的题目一旦找出了递归的表达式之后，我们可以基于递归加缓存的框架写自上而下的代码，也可以基于循环写自下而上的代码。下面是自下而上的参考代码：
上述代码中，数组dp0存的是函数f(i)的值，而dp1存的函数g(i)的值。由于代码中存在一个for循环，时间复杂度是O(n)（n是输入字符串的长度）。由于创建了两个数组dp0和dp1，它们的长度都是n，因此空间复杂度也是O(n)。
注意到求f(i)和g(i)的值的时候，只需要用到f(i-1)和g(i-1)的值，因此我们并不需要把两个数组dp0和dp1都缓存下来。实际上我们需要只需要保存dp0和dp1的各自前一个值就行了，因此可以进一步优化空间效率。优化之后的代码如下所示：
优化之后不再需要两个数组，因此空间效率为O(1)。
