音乐作品的和弦分析 课程分享60
这是通识选修课《社会科学与数学》第八讲《音乐与数学》的第三节，讨论对音乐作品的和弦分析。
第八讲《音乐与数学》
第三节 音乐作品的和弦分析
在各种音乐作品中，应用了大量的和弦。在不同类型的乐曲中，所用和弦肯定是有所区别的。对此，北京五中的傅自然将和弦的和谐度应用到音乐作品中，探寻乐曲中的和弦的规律。
他选取了两种感情色彩极为明显的乐曲进行对比。
欢庆、喜悦的：《春节序曲》、《傣家欢庆泼水节》、《拉德斯基进行曲》；
悲伤、哀怨的：《二泉映月》、《吉普赛之歌》。
然后对作品中所用的和弦进行了统计，算出：
1．所用和弦和谐度的数学期望Eξ。
2．所用和弦和谐度的方差Dξ。
3．所用和弦数量的柱状图。
结果如下：
春节序曲旋律部分： Eξ=2.277886，Dξ=2.011927
傣家欢庆泼水节旋律部分：Eξ=2.289974，Dξ=1.721063
拉德斯基进行曲旋律部分：Eξ=2.29286，Dξ=1.719593
二泉映月旋律部分： Eξ=2.62571，Dξ=2.728873
吉普赛之歌旋律部分： Eξ=3.111084，Dξ=2.747952
春节序曲伴奏部分： Eξ=4.427083，Dξ=0.19605
傣家欢庆泼水节伴奏部分：Eξ=4.342149，Dξ=0.088967
拉德斯基进行曲伴奏部分：Eξ=4.555883，Dξ=0.330908
二泉映月伴奏部分： Eξ=4.731396，Dξ=0.460474
吉普赛之歌伴奏部分： Eξ=4.976477，Dξ=0.541851
可以看出，不管在旋律部分还是伴奏部分，都是悲伤旋律的数学期望和方差大于欢快旋律的数学期望和方差。这就说明，悲伤的旋律所用的和弦不如欢快的旋律和谐，且波动程度较大。
大部分欢快的乐曲中有一个常用的和弦，所用和弦和谐度的数学期望偏小，方差也偏小，总体来说应用的和弦比较和谐、单一、集中；而忧伤的乐曲中没有一个使用率明显较高的和弦，所用和弦和谐度的数学期望偏大，方差也偏大，应用的和弦较为复杂、丰富、平均。
附录.傅自然原文
音乐中的数学——和弦的和谐度分析
北京五中 傅自然 指导教师 张毅 刘来福
内容摘要
在我们的生活中，音乐随处可见。作为人类精神文化艺术之一的音乐，是充满感性的，多彩的感觉、多样的效果，正是音乐的魅力所在。而数学则极为精准，充满理性。在这感性的音乐与理性的数学间，是否蕴藏着某些规律？
文章从二和弦、三和弦、四和弦、音乐作品中的和弦应用几个方面研究了和弦和谐度与数学之间的关系。得出结论：对于n（n=2，3，4）和弦，当n=2时，和弦的和谐度值为和谐程度相同、不能通过移动重合的两个和弦的频率比之和。当n=3或4时，和弦的和谐度值为其相邻分音和谐度值之和。而在音乐作品中，大部分欢快的乐曲中多数有一个常用的和弦，所用和弦和谐度的数学期望偏小，方差也偏小，总体来说应用的和弦比较和谐、单一、集中；而忧伤的乐曲中没有一个使用率明显较高的和弦，所用和弦和谐度的数学期望偏大，方差也偏大，应用的和弦较为复杂、丰富、平均。
关键词
和弦 和弦和谐度 频率比之和 数学期望 方差
引言
在我们的生活中，音乐随处可见。作为人类精神文化艺术之一的音乐，是充满感性的，多彩的感觉、多样的效果，正是音乐的魅力所在。而数学则极为精准，充满理性。在这感性的音乐与理性的数学间，必定蕴藏着一些规律。
在音乐作品中，应用了许多和弦（注1），有的和弦和谐，有的不和谐。和谐的和弦组成和谐的旋律，悦耳、动听，使人感到喜悦、欢快、宁静、悲伤……给人以美的享受；相反，不和谐的和弦不仅刺耳，还会使人烦躁不安。但是，一个和弦是否和谐并不很好分辨，乐感好的人可以通过感觉分辨一部分较为明显的和弦是否和谐，乐感一般的人则只能分出极少数的不和谐和弦。由于在对和弦的分辨上存在很多困难，对于一些本身差不多和谐的和弦，凭人耳很难分辨哪个更和谐，我希望通过研究能用数学方法表示出和弦的和谐度，用一定的标准衡量和弦的和谐度。
（注1：两个音高不同的单音同时发声，音乐上称之为和声；两个以上音高不同的单音同时发声，音乐上称之为和弦；组成和弦的每个单音称为此和弦的分音。但音乐上并未对全部和弦进行命名。为了叙述方便、名称统一，在本文中，几个音高不同的单音同时发声，就称之为几和弦。如两个单音同时发声组成的和声在本文中称为二和弦。）
正文
一、确定频率比
在进行和弦分析时，有三种通用律制：即十二不平均律（或叫五度相生律）、纯律和十二平均律。
（一）十二不平均律：在使用会时出现一些困难。第一个困难就是在计算时会出现音差（所差音差被称为古代“毕氏音差”），第二个是失谐，第三是变调难。
（二）纯律：是根据因泛音成立的三和弦而定律的一种律制。c2/C（2:1），G/C（3:2），F/C（4:3），这些谐音的划分仍从古律继承下来，但E，A，B略不同；引入了它们靠近的小整数比5/4，5/3，15/8。因此，纯律在三种律制中最和谐。但是由于纯律同样也存在变调困难，因此目前钢琴上广泛采用了十二平均律。
（三）十二平均律：是一种频率依次为2^(n/12)的律制。它精确规定八度（注2）的比例，并把八度分成十二个半音，使任意相邻的两个半音的音程值为2的12次方根。它的优点是能够转调。
我在研究初期应用的是十二平均律，但由于其频率比均为无理数，不易进行分析，且波形与纯律相差不大，因此改用纯律（表1）。经过与十二平均律的比较，我发现表中频率比为5:3和6:5的几个和弦波形与用十二平均律画出的波形相差较大，因此这几个频率比我采取了与十二平均律的频率比相近的27:16和32:27，得到表2。
DEFGABC1
9:85:44:33:25:315:82:1C
9:86:54:33:25:316:9D
16:156:54:33:28:5E
9:85:445:323:2F
9:85:44:3G
9:86:5A
16:15B
表1：纯律频率比
DEFGABC1
9:85:44:33:227:1615:82:1C
9:832:274:33:227:1616:9D
16:1532:274:33:28:5E
9:85:445:323:2F
9:85:44:3G
9:832:27A
16:15B
表2：修改后的频率比
（注2：钢琴上两个相距最近、音名相同的键及它们之间的音域，音乐上习惯称之为一个“八度”。）
二、化简和弦
音乐的世界里，虽然一个八度内只有十二个不同唱名的音，但这些音进行不同的组合，却可以组成无数个和弦。显然，我不能把这些和弦一一列举，分析它们的性质。因此，对和弦的化简就十分重要，必需在不遗漏的前提下尽可能少的提取出有代表性的和弦。
经常接触音乐的人有过这样的感觉：相隔一个八度的两个相同音调、频率呈二倍关系的音同时发声，听起来就像一个音一样。确实如此，因为从乐理上讲，这样并不能改变音调，只是改变了音色，音色的不同正是由于有频率比呈整数倍关系、响度不同的音同时发声造成的。所以，把组成和弦的音改变八度，和弦的和谐程度是不变的。
和弦是由不同的音组成的，而和弦性质的不同也是由这些音相互之间不同的关系造成的。因此对于和弦来说，相邻音相差度数相同的和弦性质应该也是相同的。
有了以上分析，我开始对和弦进行化简，并遵循周期性、可移性、重组不变性。
周期性：对于某一和弦，将其任一分音升高或降低八度，所得新和弦的和谐程度与旧和弦相同。例如：CG和谐程度与GC1和谐程度相同。
可移性：任意相邻两音度数差（注3）相同的和弦的和谐程度相同。例如：CD（度数差为1）与DE（度数差为1）和谐程度相同。
重组不变性：对于某一和弦，将其每相邻两音的度数差进行重组，得到的新和弦的和谐程度与旧和弦相同。例如：DFA（度数差分别为1.5，2）与CEG（度数差分别为2，1.5）和谐程度相同。
由于二和弦比较少，因此对表1中所有除CC1外的二和弦进行讨论。CC1可看成是音色不同的单音，不对它讨论。
三和弦化简为以下十二个：C#CD C#C#DC#CECDEC#CFCDFC#C#FCD#FC#D#FCDGC#DGCE#G
四和弦化简为以下十五个：C#CD#DC#CDEC#CDFC#C#DFC#CD#FC#C#D#FCDE#F C#CDGC#C#DGC#CEGCDEGC#CE#GCDE#GCDF#GC#D#FA
（注3：度数差即指两音相差的整音数。如：CE度数差为2，EF度数差为0.5）
三、和弦和谐度
对和弦是否和谐，音乐理论上并未给出一定的排列顺序，但有公认的极和谐、极不和谐的和弦。基于这些公认的规律，我尝试初步对和弦和谐程度进行感性的概括。
在二和弦中，最和谐的是度数差为2.5及与其和谐程度相同的和弦，最不和谐的是度数差为0.5及与其和谐程度相同的和弦。三和弦中，最和谐的是度数差为1.5，2及与其和谐程度相同的和弦，最不和谐的是度数差为0.5，0.5及与其和谐程度相同的和弦。在四和弦中，最和谐的是度数差为1，1.5，1.5及与其和谐程度相同的和弦，最不和谐的是度数差为0.5，0.5，0.5及与其和谐程度相同的和弦。
考虑到一个八度的度数差实际是6，我发现和谐的和弦度数关系都接近6/n，而不和谐的和弦度数关系都远离6/n。因此我依据和弦和谐程度总结出：对于n和弦（即为n个单音同时发声组成的和弦，n=2，3，4）而言，相邻各音的度数差越接近6/n，此和弦越和谐。
需要说明的是，度数差越接近6/n越和谐，并不代表度数差等于6/n最和谐。而对度数差等于6/n的三个和弦：度数差为3（以FB为例）、度数差为2，2（以CE#G为例）、度数差为1.5，1.5，1.5（以C#D#FA为例），和谐程度在其同类和弦中呈现递变规律。在二和弦中，FB是比较不和谐的；三和弦中，CE#G和谐程度中等；在四和弦中，C#D#FA比较和谐。
因此，从音乐角度可得到这个结论：
在除度数差为6/n（n=2，3，4）的n和弦中，相邻各音的度数差越接近6/n，此和弦越和谐。在相邻各音度数差为6/n的和弦中，n越大的和弦在其同类和弦中和谐程度越高。
在下面的数学分析中，将以此结论作为衡量和弦是否和谐的标准，对除相邻各音度数差为6/n的FB、CE#G、C#D#FA三个特例外的和弦进行数字化分析。
四、数学分析
由于声音的本质是波，和弦亦可以用正弦函数来表示。
（一）二和弦
设两分音最简频率比为a：b（a<b）的二和弦方程为sinax+sinbx，则表1中和谐程度相同的两个二和弦可表示为sinax+sinbx与sinbx+sin2ax。
首先，我对比了最和谐的二和弦（CG为例）与最不和谐的二和弦（CB为例）的以下五方面：
· 一周期内波峰数（图1）
· 一周期内sinax与sinbx交点个数（图2）
· 一周期内sinax与sinax+sinbx交点个数（图3）
· 一周期内sinbx与sinax+sinbx交点个数（图4）
· 一周期内sinax+sinbx与sinbx+sin2ax交点个数（图5）
· sinax+sinbx与sinbx+sin2ax频率比之和
（图1-5中x大于零部分均为CG，x小于零部分均为CB）
由图可发现，1-5中不和谐的CB的数值均大于和谐的CG的数值。由计算发现CB频率比之和为1.471，CG频率比之和为1.417，CB频率比之和也大于CG频率比之和。这6点能否作为判断和谐程度的依据呢？
我又收集了所有二和弦的数据，如表3。
和弦频率比一周期内波峰数频率比之和Sin(ax)与sin(bx)交点数Sin(ax)与和弦交点数Sin(bx)与和弦交点数一周期内交点数
CB8:15 =0.533151.47130301632
BC115:16 =0.93816323230
CD8:9 =0.88991.45218181632
DC19:16 =0.56316323218
CA16:27 =0.593271.43754543264
AC127:32 =0.84432646454
CE4:5 =0.851.4251010816
EC15:8 =0.6258161610
CG2:3 =0.66731.4176648
GC13:4 =0.754886
表3：二和弦数据
由表3发现，对于函数f(x)=sinax+sinbx,(0<a<b且a,b∈Z),在一周期[0,2π)上：
· 波峰数为b
· Sinax与sinbx交点数为2b
· Sinax与f(x)交点数为2b
· Sinbx与f(x)交点数为2a
· Sinax+sinbx与sinbx+sin2ax交点数为4a
若1-5命题成立，则说明其值只与a、b取值有关，若a、b同时增大相同倍数，其值也会随之改变，而和弦的和谐程度并未改变，就不能代表和弦的和谐程度。随后我尝试进行证明。
1．
∵函数f(x)与x轴有两个交点就有一个波峰
∴只须证在[0,2π)上f(x)与x轴交点数为2b，即f(x)=0解的个数为2b
∵f(x)=sinax+sinbx=2sin[(a+b)x/2]cos[(b-a)x/2]=0
∴sin[(a+b)x/2]=0或cos[(b-a)x/2]=0
∴[(a+b)/2]x=kπ或[(b-a)/2]x=(k+1/2)π
∴x=2kπ/(a+b)或x=(2k+1) π/(b-a)
∵0≤x<2π
∴0≤2kπ/(a+b)< 2π或0≤(2k+1) π/(b-a) < 2π
解之得0≤k<a+b或-0.5≤k< b-a-0.5
∴共有2b个k满足不等式组
∴解的个数为2b
∴波峰数为b
2．
∵sinax与sinbx交点数即为方程sinax=sinbx解的个数
∴只须证方程sinax=sinbx解的个数为2b
∵sinbx-sinax=2sin[(b-a)x/2]cos[(b+a)x/2]=0
∴sin[(b-a)x/2]=0或cos[(b+a)x/2]=0
∴[(b-a)/2]x=kπ或[(b+a)/2]x=(k+1/2)π
∴x=2kπ/(b-a)或x=(2k+1)π/(b+a)
∵0≤x<2π
∴0≤2kπ/(b-a)< 2π或0≤(2k+1)π/(b+a) < 2π 解之得a-b<k≤0或-0.5≤k<a+b-0.5
∴共有2b个k满足不等式组
∴解的个数为2b
∴Sinax与sinbx交点数为2b
3．
∵sinax与f(x)交点个数即为方程sinax=f(x)解的个数
∴只须证方程sinax=f(x)解的个数为2b
∵sinax=f(x)=sinax+sinbx
∴sinbx=0
∵sinbx最小正周期T=2π/b
∴在[0,2π)上共有最小正周期b个
∵一个最小正周期内其解的个数为2
∴在[0,2π)上共有解2b个
∴sinax与f(x)交点数为2b
4．
∵sinbx与f(x)交点个数即为方程sinbx=f(x)解的个数
∴只须证方程sinbx=f(x)解的个数为2a
∵sinbx=f(x)=sinax+sinbx
∴sinax=0
∵sinax最小正周期T=2π/a
∴在[0,2π)上共有最小正周期a个
∵一个最小正周期内其解的个数为2
∴在[0,2π)上共有解2a个
∴sinbx与f(x)交点数为2a
5．
∵sinax+sinbx与sinbx+sin2ax交点个数即为方程sinax+sinbx=sinbx+sin2ax解的个数
∴只须证方程sinax+sinbx=sinbx+sin2ax解的个数为4a
∵sinax+sinbx=sinbx+sin2ax
∴sinax=sin2ax
∵sinax与sin2ax公有最小正周期T=2π/a
∴在[0,2π)上共有公有最小正周期a个
∵一个公有最小正周期内其解的个数为4
∴在[0,2π)上共有解4a个
∴sinax+sinbx与sinbx+sin2ax交点数为4a
由此可知：
1．一周期内波峰数
2．一周期内sinax与sinbx交点个数
3．一周期内sinax与sinax+sinbx交点个数
4．一周期内sinbx与sinax+sinbx交点个数
5．一周期内sinax+sinbx与sinbx+sin2ax交点个数
以上1-5个方面与和弦的和谐程度无关。
相反，频率比之和从和谐和弦到不和谐和弦而由小到大，呈现出很好的递变性，且不随着a、b改变相同的倍数而改变。因此我决定用频率比之和表示二和弦的和谐程度，其值越小越和谐。
· 三和弦
由于三和弦可看作是二和弦的叠加，所以三和弦的和谐程度也一定与组成它的二和弦和谐程度有关。于是，我考虑用组成三和弦的二和弦（只取相邻两音）的和谐程度之和表示三和弦的和谐度。具体计算方法为：取一个三和弦，将其频率最低音升高八度，与原和弦同时发声组成一个四个音同时发声的和弦，并将此和弦每相邻两音组成的二和弦的和谐度值相加，所得即为这个三和弦的和谐度。例如：C#CD和谐度为C#C和谐度+#CD和谐度+DC1和谐度值。
以此为原理，可得到表4。
和弦度数差分音和谐度之和（和谐度值）
C#CD0.5，0.54.394
C#C#D0.5，14.36
C#CE0.5，1.54.333
CDE1，14.329
C#CF0.5，24.313
CDF1，1.54.306
C#C#F0.5，2.54.31
CD#F1，24.299
C#D#F1.5，1.54.291
CDG1，2.54.286
C#DG1.5，24.279
表4：三和弦和谐度
观察此表发现，分音和谐度之和越小三和弦就与和谐。因此我决定用分音和谐度之和来表示三和弦的和谐度，越小越和谐。
· 四和弦
下面用四和弦来验证此方法的正确性。
首先用计算三和弦和谐度的方法来计算四和弦和谐度。即为：取一个四和弦，将其频率最低音升高八度，与原和弦同时发声组成一个五个音同时发声的和弦，并将此和弦每相邻两音组成的二和弦的和谐度值相加，所得即为这个四和弦的和谐度值。例如：C#CD#D和谐度为C#C和谐度+#CD和谐度+D#D和谐度+#DC1和谐度。得到表5。
和弦度数差和谐度
C#CD#D0.5，0.5，0.55.85
C#CDE0.5，0.5，15.819
C#CDF0.5，0.5，1.55.796
C#C#DF0.5，1，15.792
C#CD#F0.5，0.5，25.789
C#C#D#F0.5，1，1.55.782
CDE#F1，1，15.778
C#CDG0.5，0.5，2.55.776
C#C#DG0.5，1，25.765
C#CEG0.5，1.5，1.55.762
CDEG1，1，1.55.758
C#CE#G0.5，1.5，25.758
CDE#G1，1，25.754
CDF#G1，1.5，1.55.751
表5：四和弦和谐度
由表发现所有和弦的和谐度值均符合和谐度越小和弦越和谐。因此对和谐度值的定义成立。
五、乐曲中的和弦
在各种音乐作品中，应用了大量的和弦。在不同类型的乐曲中，所用和弦肯定是有所区别的。因此，我将和弦的和谐度应用到音乐作品中，探寻乐曲中的和弦的规律，同时也检验了结论。
在研究过程中，我选取了两种感情色彩极为明显的乐曲进行对比。
欢庆、喜悦的：《春节序曲》、《傣家欢庆泼水节》、《拉德斯基进行曲》
悲伤、哀怨的：《二泉映月》、《吉普赛之歌》
首先，我对作品中所用的和弦进行了统计，得到了表6（春节序曲）、表7（傣家欢庆泼水节）、表8（拉德斯基进行曲前半部分）、表9（二泉映月）、表10（吉普赛之歌）。
度数和谐度和弦出现次数出现频率
旋律11.452DE20.0198
GA40.0396
1.51.437#CE160.1584
#GB70.0693
21.425GB20.0198
A#C110.1089
D#F10.0099
2.51.417EA10.0099
#C#F100.0990
31.414E#A10.0099
2，1.54.279E#GB20.0198
A#CE280.2772
D#FA70.0693
#FA#C80.0792
1.5，1.54.275#A#CE10.0099
伴奏2，1.54.279A#CE1000.6289
E#GB140.0881
CEG140.0881
#DG#A20.0126
D#FA130.0818
2，1.5，1.55.751A#CEG30.0189
E#GBD130.0818
表6：春节序曲
度数和谐度和弦出现次数出现频率
旋律21.425A#C10.0152
GB10.0152
D#F440.6667
2，1.54.279D#FA160.2424
GBD20.0303
1，2.54.286DEA20.0303
伴奏2，1.54.279D#FA1080.6626
GBD160.0982
A#CE210.1288
BD#F70.0429
EGB40.0245
2，1.5，1.55.751A#CEG70.0429
表7：傣家欢庆泼水节
度数和谐度和弦出现次数出现频率
旋律11.452B#C20.0179
1.51.437BD80.0714
#CE40.0357
#FA80.0714
EG40.0357
21.425#F#A30.0268
GB80.0714
D#F120.1071
A#C40.0357
2.51.417#FB40.0357
AD80.0714
#C#F70.0625
DG50.0446
31.414#CG10.0089
2，1.54.279D#FA100.0893
GBD10.0089
E#GB10.0089
A#CE90.0804
#F#A#C50.0446
BD#F80.0714
伴奏2，1.54.279D#FA550.5446
A#CE100.0990
#F#A#C90.0891
BD#F80.0792
2，1.5，1.55.751A#CEG150.1485
E#GBD40.0396
表8：拉德斯基进行曲前半部分
度数和谐度和弦出现次数出现频率
旋律11.452GA10.0104
1.51.437EG20.0208
BD30.0315
21.425D#F20.0208
GB20.0208
2.51.417EA100.1042
AD80.0833
#FB80.0833
DG110.1146
BE110.1146
1.5，14.306BDE30.0315
ABD10.0104
DEG10.0104
2.5，14.286DGA40.0417
E#FB10.0104
DEA30.0315
1.5，24.279BD#F50.0521
A#CE20.0208
GBD10.0104
D#FA10.0104
EGB40.0417
ACE10.0104
1.5，1.54.291#CEG30.0315
1.5，1，1.55.751BDEG40.0417
1.5，1.5，1.55.748G#A#CE30.0315
F#GBD10.0104
伴奏2，1.54.279D#FA60.1538
GBD30.0769
EGB90.2308
A#CE30.0769
BD#F40.1026
ACE20.0513
2，1.5，1.55.751D#FAC20.0513
E#GBD10.0256
A#CEG20.0513
1.5，1.5，1.55.748DF#GB40.1026
G#A#CE20.0513
AC#D#F10.0256
表9：二泉映月
度数和谐度和弦个数频率
旋律11.452DE30.0526
1.51.437F#G40.0702
DF20.0351
21.425#DG100.1754
#AD30.0526
#GC20.0351
2.51.417DG20.0351
31.414D#G10.0175
2，1.54.279GBD60.1053
C#DG70.1228
BDF30.0526
#DG#A40.0702
1，24.299FGB30.0526
2，1.5，1.55.751D#FAC20.0351
GBDF30.0526
FAC#D20.0351
伴奏2，1.54.279C#DG100.1695
G#AD60.1017
#GB#D40.0678
#D#F#A10.0169
F#GC100.1695
2，1.5，1.55.751GBDF100.1695
D#FAC50.0847
FAC#D20.0339
1.5，1.5，1.55.748C#D#FA60.1017
F#GBD50.0847
表10：吉普赛之歌
随后，我从以下三方面对数据进行了处理：
1．所用和弦和谐度的数学期望Eξ。
2．所用和弦和谐度的方差Dξ。
3．所用和弦数量的柱状图。
结果如下：
春节序曲旋律部分：Eξ=2.277886，Dξ=2.011927
傣家欢庆泼水节旋律部分：Eξ=2.289974，Dξ=1.721063
拉德斯基进行曲旋律部分：Eξ=2.29286，Dξ=1.719593
二泉映月旋律部分：Eξ=2.62571，Dξ=2.728873
吉普赛之歌旋律部分：Eξ=3.111084，Dξ=2.747952
春节序曲伴奏部分：Eξ=4.427083，Dξ=0.19605
傣家欢庆泼水节伴奏部分：Eξ=4.342149，Dξ=0.088967
拉德斯基进行曲伴奏部分：Eξ=4.555883，Dξ=0.330908
二泉映月伴奏部分：Eξ=4.731396，Dξ=0.460474
吉普赛之歌伴奏部分：Eξ=4.976477，Dξ=0.541851
可以看出，不管在旋律部分还是伴奏部分，都是悲伤旋律的数学期望和方差大于欢快旋律的数学期望和方差。这就说明，悲伤的旋律所用的和弦不如欢快的旋律和谐，且波动程度较大。
接下来，我又比较了几首乐曲所用和弦的柱形图，如下。其中横坐标是所用和弦，纵坐标是这个和弦的出现次数。（图6-图11）
在以上比较欢快的旋律中，除了拉德斯基进行曲旋律部分的柱状图以外，每张图都有一个和弦使用频率远高于其它和弦，这说明欢快的乐曲结构不那么复杂，有常用的和弦，给人感觉比较单纯。当然这只是单纯的数学分析，音乐复杂的多，拉德斯基进行曲旋律部分所用和弦较为平均，也给人欢快、明朗的感觉，就是一个特例，因为影响乐曲的还有旋律、节奏等，不能只用和弦判定乐曲的情绪。但通过对比，这个结论可以适用于大部分音乐作品。
下面是忧伤旋律的和弦柱状图。（图12-图15）
可以看出，在这些忧伤的旋律中，没有哪幅图中有一个常用和弦使用频率明显高出其它和弦，相反，使用的每种和弦数量不多，但和弦种类相对比较丰富，每种和弦的数量相对平均。这使得忧伤的旋律给人的听觉更多种类的刺激。
综上所述，大部分欢快的乐曲中有一个常用的和弦，所用和弦和谐度的数学期望偏小，方差也偏小，总体来说应用的和弦比较和谐、单一、集中；而忧伤的乐曲中没有一个使用率明显较高的和弦，所用和弦和谐度的数学期望偏大，方差也偏大，应用的和弦较为复杂、丰富、平均。
六、结论
对于n（n=2，3，4）和弦，当n=2时，和弦的和谐度值为和谐程度相同、不能通过移动重合的两个和弦的频率比之和。当n=3或4时，和弦的和谐度值为其相邻分音和谐度值之和。
在音乐作品中，大部分欢快的乐曲中有一个常用的和弦，所用和弦和谐度的数学期望偏小，方差也偏小，总体来说应用的和弦比较和谐、单一、集中；而忧伤的乐曲中没有一个使用率明显较高的和弦，所用和弦和谐度的数学期望偏大，方差也偏大，应用的和弦较为复杂、丰富、平均。
七、研究心得
在研究过程中，我多次遇到了困难。比如，在开始研究时，我选取的是十二平均律。但由于十二平均律的频率比均为无理数，导致很长时间的研究一筹莫展，连周期都找不到。后来，改成了纯律，又做了修改，才使研究柳暗花明。这也使我明白了，在最困难的时候，只有努力坚持，决不放弃，才有可能取得成功。
音乐是灵活的，是不能完全用数学代替的。但数学与音乐都是美的艺术。我希望我的研究能找到数学与音乐间蕴含的联系，用严格的数学为绚丽的音乐再添上和谐的一笔。
参考文献
· Trudi Hammel Garland and Charity Vaughan Kahn, 《Math and Music》, USA: Dale Seymour Publications, 1995
· 《Basic Z12 Analysis of Musical Chords》
· 晏成佺，童忠良，钟峻程《基本乐理教程》人民音乐出版社，1990
· 唐林, 陶纯，张永德《音乐物理学导论》中国科技大学出版社, 1991
· 人教版高中《物理》教材
· 李遇秋，张自强，杨文涛，姜杰，任士荣，闪源昌，杨国立《音乐考级教程》（业余）手风琴/2（四至六级）华文出版社，1993
· 李遇秋，张自强，杨文涛，姜杰，任士荣，闪源昌，杨国立《中央音乐学院手风琴（业余）考级教程》（第六级——第八级）南海出版公司，1999
