笔记说明
在datacamp网站上学习“Time Series with R ”track
“ARIMA Modeling with R”课程 做的对应笔记。
学识有限，错误难免，还请不吝赐教。
学习的课程为“ARIMA Modeling with R”，主要用astsa包。
如无特殊说明，笔记中所使用数据均来自datacamp课程
ARIMA模型没比ARMA模型多多少知识点，因此本次笔记以一个真实数据练习为主，分析过程中附带一些在ARMA模型笔记中没有提到的内容。
ARIMA模型介绍
在ARMA模型的基础上加上差分就是ARIMA模型（Autoregressive Integrated Moving Average model）了，如果某时间序列的d阶差分符合ARMA（p,q），那么原时间序列符合ARIMA(p,d,q)。
真实数据练习-全球变暖
astsa包中自带的globtemp数据包含1880-2015年间每年的全球平均陆地-海洋温度偏差（与1951-1980年均值相比）
原始数据及其一阶差分情况如下：
差分后的数据消除了长期趋势，有点像平稳序列了。
通过ACF和PACF图尝试定阶：
# Plot the sample P/ACF pair of the differenced data
acf2(diff(globtemp))
对于差分后的ACF和PACF的结果，可以有以下解读：
- ACF和PACF均拖尾，可以考虑ARIMA(1,1,1)模型
- ACF在lag为2处截尾，PACF拖尾，因此可以考虑ARIMA(0,1,2)模型
- ACF拖尾，PACF在lag为3处截尾，可以考虑ARIMA(3,1,0)模型。虽然这个模型拟合的也还可以，但实际上是三个模型中表现最差的。对于数据展示出来的比较小的自相关性它用了过多的参数。为节约篇幅我们就把这个模型忽略了。
拟合第一个模型：
# Fit an ARIMA(1,1,1) model to globtemp
sarima(globtemp,1,1,1)
参数估计结果：
| Estimate | SE | t.value | p.value | |
|---|---|---|---|---|
| ar1 | 0.3549 | 0.1314 | 2.7008 | 0.0078 |
| ma1 | -0.7663 | 0.0874 | -8.7701 | 0.0000 |
| constant | 0.0072 | 0.0032 | 2.2738 | 0.0246 |
sigma^2估计值为0.009885
自由度132
AIC -3.572642
BIC -4.508392
残差分析图：
拟合第二个模型：
# Fit an ARIMA(0,1,2) model to globtemp
sarima(globtemp,0,1,2)
参数估计结果：
| Estimate | SE | t.value | p.value | |
|---|---|---|---|---|
| ma1 | -0.3984 | 0.0808 | -4.9313 | 0.0000 |
| ma2 | -0.2173 | 0.0768 | -2.8303 | 0.0054 |
| constant | 0.0072 | 0.0033 | 2.1463 | 0.0337 |
sigma^2估计值为0.00982
自由度132
AIC -3.579224
BIC -4.514974
残差分析图：
模型选择
两个模型的参数估计结果均有统计学意义，残差分析图也都显示模型均是合理的（reasonable）。根据AIC和BIC的结果，可能ARIMA(0,1,2)模型更好一些。
另外，forecast包的auto.arima()函数可以自动尝试不同阶数组合模型并建模，也可以帮助我们定阶。auto.arima()的相关内容见：时间序列笔记-auto.arima()自动定阶
通过模拟过拟合进行模型诊断
除了残差分析以外，还可以通过模拟过拟合(overfitting)来对建立的模型进行诊断：在建立的模型基础上添加额外的参数，看新的拟合结果。如果模型的参数估计等产生了很大的变化，则需要再考虑；如果模型结果没有发生大变动，那么可以比较肯定之前的模型是正确的。（我理解就是检查是否欠拟合吧）
我们在ARIMA(0,1,2)的基础上加一个参数，尝试ARIMA(0,1,3)模型的拟合效果：
# Fit an ARIMA(0,1,3) model to globtemp.
sarima(globtemp,0,1,3)
参数估计结果：
| Estimate | SE | t.value | p.value | |
|---|---|---|---|---|
| ma1 | -0.3760 | 0.0929 | -4.0458 | 0.0001 |
| ma2 | -0.2115 | 0.0779 | -2.7157 | 0.0075 |
| ma3 | -0.0464 | 0.0865 | -0.5370 | 0.5922 |
| constant | 0.0072 | 0.0032 | 2.2574 | 0.0256 |
sigma^2估计值为0.009798
自由度131
AIC -3.566741
BIC -4.481074
残差分析图：
可以看出ma1 ma2的参数估计值变化不大，新加的ma3并没有统计学意义，AIC BIC增大。标明原来的ARIMA(0,1,2)模型并没有欠拟合。
用ARIMA模型进行预测
可以用astsa包的sarima.for(data, n.ahead, p, d, q)函数进行ARIMA建模后的预测。n.ahead参数指定往后预测几个时间单位的值。函数会输出对应预测值及其标准误和图像，图像中黑色表示已有数据，红色表示预测值，还会显示预测值加减1倍标准误的预测区间和加减2倍标准误的预测区间。
# Forecast data 35 years into the future
sarima.for(globtemp,n.ahead=35,0,1,2)
