1. 说明

 ARMA回归滑动平均模型(Autoregressive Moving Average Model,简记ARIMA)，是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。常用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。ARIMA模型相对ARMA模型，仅多了差分操作。

2. 相关概念

(1) 自回归模型（AR）

 自回归模型autoregressive model，简称AR．在时序分析中，描述时间序列｛yt｝自身某一时刻和前p个时刻之间相互关系的模型称自回归模型，其形式为：

 其中Φ1, Φ2,…, Φp是模型参数，εt是白噪声序列，它反映了所有其它随机因素的干扰．其中p为模型阶次，即yt由前p个值决定．

(2) 滑动平均模型（MA）

 滑动平均模型moving average model，也称移动平均模型，它将时间序列{yt}看成白噪声序列的线性组合，为什么误差能描述模型呢？假设某个值可通过之间前N个值的平均值预测，稍作变化，即实际值可以通过前一值的预测值加误差得到．因此实际值可用多个误差值的累加来表示．其形式为：

(3) 回归滑动平均模型（ARMA）

 简单地说：AR模型是建立当前值和历史值之间的联系，MA模型是计算AR部分累积的误差。ARMA是两个维度的和．

(4) 数据预处理

 ARMA要求被分析的数据呈正态分布，平稳，零均值．平稳性一般是指：均值为常数，方差为常数，且自协方差为常数．比如说上升的趋势中，均值就不是常数；如果震荡幅度越来越大，则方差不是常数。
 如果仅是均值非０的情况，可减去均值；如果趋势可用线性拟合，可以减去拟合后的趋势；另外还可以用差分，或者季节性差分的方法使之平稳；对于非正态分布，可使用对数处理．

(5) 差分

 差分是将数据进行移动之后与原数据进行比较得出的差异数据，这里的移动是指上移或者下移．简单的说，比如对某支股票的价格数据做一阶差分，就是将每日价格减去前一天的价格．
 在python中，差分运算可使用pandas的diff(periods=n)函数实现，其中n为阶数，默认为一阶差分，一阶差分的具体操作是df.shift()-df．用于生成平稳数据，比如下面的曲线．

 一阶差分后

 由此可见，差分之后，去掉了趋势，均值趋于０．有助于分析其它特征．

(6) 自相关与偏自相关（ACF&PACF）

 自相关acf和偏自相关pacf是分析时序数据的重要方法，是在平稳条件下求得的．
 自相关函数Auto Correlation Function，简称ACF．形如：

 Ｘ轴表示滞后值，Ｙ轴从[-1,1]，表示了这些值的相关性．比如左边第一点相关性为1，就是说该点与它自己完全相关．从图中可观察到：12个月为周期的相关性相当明显的．调用方法如下：

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
plot_acf(df['xxx'])

 注意时序数据中不能包括空值，如果之前用了一次一阶差分和一次十二阶差分，应去掉前13个为空的值．
 图中蓝色部分是描述的统计显著性，如果数据随机分布，Y轴的位置会在蓝色区域之内．因此，要着重看蓝色区域以外的点．
 自相关系数包含了其它变量影响下的相关关系，有时需要只考虑某两个变量的相关关系，即偏相关系数．其中的偏字，指的是只考虑首尾两项的关系，把中间项当成常数，使用了偏导数的方法．使用方法如下：

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf
plot_pacf(df['xxx'])

(7) 拖尾和截尾

 我们通过观察自相关图和偏自相关图来确使用哪种模型，以自相关图为例，先看看图片呈现的几种形式．

 左边的图呈直线形式衰减，说明可能包括趋势，需要进一步差分；中间是截尾图，它指的是在某个值（如图中的7）后截止为0；右则是拖尾图，指的是按指数形式或正弦形式有规律地衰减．
 如果自相关系数拖尾，偏自相关系数p阶截尾，则使用p阶的AR模型．
 如果自相关系数q阶截尾，偏自相关函数拖尾，则使用q阶的MA模型．
 简单的讲，它们两个都是看截尾截在哪儿．
 如果自相关函数和偏自相关函数均拖尾，则使用ARMA模型，由于AR和MA相互影响，阶数需要从小到大逐步尝试．

(8) 模型检验

i. 模型对训练数据的拟合
 用模型对训练数据做拟合，用观察或者计算误差的方式，查看二者差异，差异越小越好．

ii. 检查残差的自相关函数
 残差的自相关函数应该没有可识别的结构．

iii. AIC信息准则
 AIC信息准则Akaike information criterion，是衡量统计模型拟合优良性的一种标准，AIC值越小越好，也有根据AIC自动选参数的工具．

3. 步骤

 具体使用python调用statsmodels库实现．statsmodels是一套统计工具集．具体需要考虑三个参数：d，p，q．其中d是消除趋势的差分阶数，p是AR阶层，q是MA的阶数．步骤如下：

(1) 做时序图观察基本的趋势和周期．

(2) 分析平稳性，正态性，周期性；并对数据进行转换．

(3) 做自相关和偏自相关图，确定模型阶次．

(4) 模型检验

(5) 用模型预测．

4. 问题与解答

(1) 做ARMA分析前是否应该剔除周期性因素？
 我们可以从自相关图中看出周期性波动，比如上边右侧的拖尾图，它说明某天与前7,14,21天都强相关．如果发现强相关，可先进行多阶差分（季节差分）后，再进一步使用ARMA模型处理．需要注意的是各层次差分在预测时都需要对应的还原．

(2) 做长期预测时如何应对衰减？
 我在做盐城上牌预测时就遇到了严重的衰减问题，当时需要预测之后几百天的数据，而ARMA在预测了几十天之后，就从类似正弦波型衰减成了一条直线，导致我最终放弃了该模型，改为使用线性拟合趋势，严重损失了精度．后来看复赛排名第一的大神分享，他也使用ARMA，并且也有衰减问题，不同的是他采用按月预测，相比于按日预测，衰减就好得多，非常赞！

5. 参考

(1) 第七篇时间序列分析
https://max.book118.com/html/2014/1223/10828140.shtm