必记积分公式

补充常用不定积分

1
\int\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C

2
\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C

3
\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C

4
\int\frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}dx=ln|x+\sqrt{x^2 \pm a^2}|+C

5
\int ln x dx=x(ln x -1)+C

6 含参量反常积分

\int e^{ax} \cos bx dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a \cos bx + b \sin bx )+C

\int e^{ax}\sin bx dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a \sin bx - b \cos bx )+C

7 傅里叶级数

\int xcosnxdx=\frac{1}{n^2}cosnx+\frac{x}{n}sin nx +C

\int x sin nx dx=\frac{1}{n^2}sin nx-\frac{x}{n}cos nx +C

8
\int secx dx =ln|sec x +tan x|+C

\int sec^2 x dx =tan x+C

\int sec^3 x dx = \frac{1}{2}[\sec x \tan x+ ln|\sec x + \tan x|]+C
（分部积分求得）

9
I(m,n)=\int \cos^m x \sin^n x dx= \bigtriangleup + \frac{m-1}{m+n}I(m-2,n)
或者
I(m,n)= \bigcirc + \frac{n-1}{m+n}I(m,n-2)

其中\bigtriangleup和\bigcirc分别是一个式子，但只需记住后面的就行

10
I(m,n)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^m x \sin^n x dx= \frac{m-1}{m+n}I(m-2,n)
或者
I(m,n)= \frac{n-1}{m+n}I(m,n-2)

其中：
I(0,0) = \frac {\pi}{2}
I(1,0)= I(0,1) = 1
I(1,1) = \frac{1}{2}

11

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