当行星滚柱丝杠/滚珠丝杠经历纵向和扭转变形时，螺母在运动方向上摆动。在本文中，我们建立了一个行星滚柱丝杠/滚珠丝杠系统动力学模型，该模型考虑了行星滚柱丝杠/滚珠丝杠的分布惯性以及推力轴承、螺母和联轴器的顺应性和阻尼。采用伽辽金方法将行星滚柱丝杠/滚珠丝杠传动系统的分布参数模型简化为低阶模型，并在一对滚珠行星滚柱丝杠/滚珠丝杠系统上进行了实验验证。结果表明，该模型能准确预测电机转矩到滑块位置传递函数中存在有限的右半平面零点。将粘弹性阻尼器集成到其中一个行星滚柱丝杠/滚珠丝杠支承轴承中，可以在系统传递函数中产生显著的确定性阻尼。（笔者18611115759看到一篇很不错的论文，发到网上供大家参考）

行星滚柱丝杠/滚珠丝杠驱动器的动力学:低阶建模和实验行星滚柱丝杠/滚珠丝杠驱动器的闭环性能通常受到一个共振的限制，在这个共振中，当行星滚柱丝杠/滚珠丝杠经历纵向和扭转变形时，导轨在运动方向上振荡。在本文中，我们建立了一个行星滚柱丝杠/滚珠丝杠系统动力学模型，该模型考虑了行星滚柱丝杠/滚珠丝杠的分布惯性以及推力轴承、螺母和联轴器的顺应性和阻尼。采用伽辽金方法将行星滚柱丝杠/滚珠丝杠传动系统的分布参数模型简化为低阶模型，并在一对行星滚柱丝杠/滚珠丝杠系统上进行了实验验证。结果表明，该模型能准确预测电机转矩到滑块位置传递函数中存在有限的右半平面零。一个粘弹性阻尼器纳入一个行星滚柱丝杠/滚珠丝杠支承轴承，显示了在系统传递函数中产生显著的，确定的阻尼。

1引言

行星滚柱丝杠/滚珠丝杠传动常用于高性能线性运动系统，因为它们提供了一个相对较高的刚度和固有的驱动器减少传动。低摩擦滚珠行星滚柱丝杠/滚珠丝杠或滚子行星滚柱丝杠/滚珠丝杠可为许多应用提供可接受的平稳运动，因为在同时接触的许多滚珠或行星滚柱之间具有弹性平均，并且它们易于预加载，没有间隙。行星滚柱丝杠/滚珠丝杠的一个缺点是行星滚柱丝杠/滚珠丝杠的惯性使它很难用给定尺寸的电机达到高加速度。第二，仍然知之甚少，对行星滚柱丝杠/滚珠丝杠传动动态性能的限制来自于共振，当行星滚柱丝杠/滚珠丝杠经历纵向和扭转变形时，滑块在运动方向上振荡。如果反馈来自附在电机上的传感器，通常可以非常快速和精确地控制电机的旋转。但滑块的位置是未知的，它可以偏离所需的，由于准静态效应共，如形式误差或热膨胀兲以及驱动器的共振响应。此外，无论电机控制的带宽有多高，在第一次驱动共振后，滑块响应迅速滚掉。如果从导轨位置获得反馈，准静态误差可以消除，但控制器带宽在实践中受到限制，显著小于第一驱动器共振的频率。在本文中，我们建立了一个行星滚柱丝杠/滚珠丝杠传动系统的动力学模型，该模型正确地说明了行星滚柱丝杠/滚珠丝杠的分布惯性，而且足够简单，可以同时用于机械系统和控制器的设计

1.1背景

一些研究人员研究了控制策略对行星滚柱丝杠/滚珠丝杠系统性能的影响。Chen和Tlusty研究了电机和滑块位置反馈的影响。Tlusty 2讨论了位置伺服机构的各种控制策略，并提出了各种措施，如前馈补偿和加速度反馈，以提高行星滚柱丝杠/滚珠丝杠驱动器的性能。Smith考虑了带电机位置反馈的行星滚柱丝杠/滚珠丝杠系统，并采用有限元模型研究了高阶共predomi，nently扭转共振动模式。Smith等人（4）实施自适应控制技术，以提高机床轴的性能。Lim等人（5）实现了扭转位移反馈算法和扭转位移估计方法，以减少由电机通过滚珠行星滚柱丝杠/滚珠丝杠驱动的XY工作台的位置误差。在本文中，我们开发了一个图1所示配置的行星滚柱丝杠/滚珠丝杠传动的第一共振模型。它由一个螺旋通过旋转轴承约束在机器底座上，并通过一个柔性联轴器由电机驱动。螺母安装在马车上，马车被约束在轴向线性轴承上移动。最靠近驱动电机的螺纹杆的末端通过推力轴承沿径向约束到底座上。在机构运行期间，行星滚柱丝杠/滚珠丝杠和螺母之间的摩擦产生大量热量，导致行星滚柱丝杠/滚珠丝杠温度升高和热膨胀。为了适应这种膨胀，通常允许行星滚柱丝杠/滚珠丝杠在距离电机最远的支撑轴承的轴向自由滑动。因此，整个推力载荷通过发动机侧推力轴承和滑块之间的元件的串行组合传递到底座。由于行星滚柱丝杠/滚珠丝杠的顺应性随着长度的增加而增加，当支架位于距离电机最远的一端时，这种系统的谐振频率会下降到最低值。在重型机床中，有时可以通过两端的止推轴承来约束螺纹杆，并在装配过程中预先拉伸足够大的位移，即使在螺纹杆变热时也能保持一定的张力。这种系统表现出相对较高的谐振频率和较小的热误差。但所需的预紧力通常很高，需要相对较大的推力轴承，并导致机器底座的显著扭曲。Nayfeh（6）和Nayfeh和Slocum（7）建议在离电机最远的推力轴承处插入一个粘弹性元件。这样一个vis-协弹性阻尼器可以使足够柔顺，所需的预加载位移达到相对较小的载荷，同时仍然产生显著的系统阻尼

1.2方法。

图一

阻尼在决定谐振对闭环性能的影响方面起着（键作用（8）。机器中的大多数阻尼产生于材料界面，很难从第一性原理【9-11】中建模。这种阻尼通常被建模为“结构”或“滞后”，并通过将复值刚度分配给系统的有损元素引入频域模型共例如。【12】。在本文中，我们建立了系统的频域模型，使滞回阻尼可以通过使用复刚度来描述轴承或螺母。然后，我们得到了一个适用于瞬态响应预测和控制器设计的等效粘性阻尼模型。我们首先在频域内编写螺旋的纵向和扭转动力学的二阶波动方程，以及考虑轴承和螺母的遵从性共和可能的阻尼兲的边界条件。我们认为，除非螺纹杆的有效惯性远大于滑块和电机的有效惯性，与第一共振相（的模态振型将接近于由系统准静态变形得到的振型。基于该模态振型的伽辽金程序得到了以电机旋转和滑块位置为坐标的降阶模型中一致的质量矩阵。其次，对于轻阻尼，我们使用扰动展开来确定系统开环极点的近似，并由此推导出等效的时域方程。最后，我们通过一对滚珠行星滚柱丝杠/滚珠丝杠驱动器的测量结果验证了该模型。模态试验得到了与轴向驱动共振相（的模态振型。从电机转矩到电机旋转和滑块位置的传递函数的测量提供了与模型的直接比较。我们发现，实验结果与模型(有或没有粘弹性阻尼器)总体上吻合良好，证实了该模型适用于预测系统在感）趣频率范围内的响应。根据模型预测，由于螺纹杆的分布惯性，从电机转矩到滑块位置的传递函数存在一个非最小相位零

2建模

考虑如图1所示的行星滚柱丝杠/滚珠丝杠传动在频率␻下的稳定谐波振动，其中导轨的振动位移由 Re(uc(w)ejwt 给出，电机的旋转角度由 Re(θm(w)ejwt 给出。复变量 uc(w) 和 θm(w) 分别表示作为频率 w 的函数的运动的幅度和相位。螺纹杆的位移和扭转角随螺纹杆长度的变化而变化，因此被写成 Re(uc(w)ejwt 和 Re(θm(w)ejwt 。

2.1分布参数模型。螺旋的纵向位移u(x，w)和旋转角度 θ(x,w) 均由二阶波动方程控制。忽略螺纹对螺钉横截面性能的影响，我们表达为；

其中质数表示关于x的偏微分，ρ是螺纹的密度（一般指导程，行星滚柱丝杠导程=螺距x螺纹头数，滚珠丝杠是单头螺纹，所以螺距=导程），E和G分别是它的拉伸模和剪切模

2.1.1结束条件。在最靠近电机的螺纹杆末端(x=0)，纵向力必须与推力轴承中的纵向力相匹配。如果 kb1 表示推力轴承及其壳体的纵向刚度组合，则该条件为；

其中A是螺钉的平均横截面积，质数表示相对于x的偏微分。类似地，表示距离电机最远端的有效刚度 kb2 ，我们有

如果螺纹杆在这一端轴向不受约束， kb2 值可以设置为零。在x=L处，螺钉上的扭转力矩必须消失。该条件的形式为 θ′(L,m)=0 。在x=0处，螺钉中的扭转力矩必须与联轴器中的扭转力矩匹配。表示电机与螺纹杆联轴器的扭转刚度为 kc ，我们将螺纹杆末端的旋转与电机的旋转 θm(w) 联系起来

其中 J 是螺纹杆横截面的(平均)第二极矩

2.1.2螺母的情况。如果滑块(更准确地说，螺母)位于沿螺纹杆长度的x= xc 位置，并且螺母与螺纹杆之间的界面完全刚性，则滑块位移 uc 将由螺纹杆的纵向位移加上其扭转角乘以传动比得到

这里ρ 是丝杠的导程（即线程在一次旋转中前进的距离）。但通常情况下，螺纹杆和螺母之间的接口以及螺母安装在滑块上的方法具有明显的一致性。我们将螺母的轴向刚度定义为，如果螺纹杆在 xc 处被抑制位移或旋转，则在螺纹杆中产生的轴向力 Fn 与由此产生的位移 uc(w) 的比值。轴向力和在螺母内产生的扭矩是由螺母左、右各部分上的力和扭矩的组合给出的

利用这个表达式，我们将运动学关系式(5)改写为

这个方程是我们想要的，关于滑块的位移，与螺纹杆在 xc 点的位移和旋转的关系

2.1.3电机和滑块

电机电枢除受驱动力矩 Tm(w) 和有效粘性阻尼力矩 jwCmθm 外，还受拧紧联轴器施加的扭转力矩( kc[θ(0,w)−θm(w)] )。电机电枢的运动方程是这样的

其中 Jm 是电机电枢的旋转惯量。

导轨除了受到扰动力 Fc(w) 和有效阻尼力 jwCcUc(w) 外，还受到螺纹杆对螺母施加的力。因此，我们写作

mc 是滑块质量。

图2

2.2集总参数逼近。

螺纹杆中的纵波以 ）(E/ρ）1/2 的速度传播。如果运动频率 w 远低于该波沿螺旋长度传播共所需要的时间，即 ）wL<<(E/ρ）1/2 ，则(1)中的惯性项较小，纵波在螺旋中的传播可以忽略。在这种情况下，螺母和推力轴承共之间的螺钉的位移 u(x,w) 在感）趣的频率范围内随x近似线性变化，如图2所示。同样，当螺纹杆的剪切模量为G时，扭转波的传播速度为 ）(G/ρ）1/2 ，当 ）wL<<(G/ρ）1/2 时，扭转波可以忽略。在这种情况下， θ(x,w) 在螺母和电机之间的螺钉部分上与x近似线性变化，在螺纹杆的其余部分上为常数。在第2.2.1节中，我们忽略了系统的惯性，并检查了如果滑块受到沿向位移 （）uc（w） 和电机受到旋转 （）θ（x,w） 所获得的变形。也就是说，我们考虑在非常小的␻处发生的情况，其中螺纹杆的纵向和扭转变形如图2所示。然后，在第2.2.2节中，我们基于准静态变形进行Galerkin近似，得到了以电机旋转和滑块位移为坐标的低阶模型。现在让我们通过施加在滑块上的纵向力F和施加在电机上的扭矩 Fρ/2π 来施加准静态(缓慢变化)马车位移 uc(w) 和电机旋转 θm(w) 。力和位移由

其中 kt 是系统的总刚度(我们稍后得到)，我们忽略了惯性效应。我们希望解出系统的准静态位移，其形式为如图2所示，所以我们只需要在螺母位置和螺纹杆两端求解 （，）u（x，w） 和 （，）θ（x，w） 。利用式(4)和 θ 对x的分段线性关系，我们将x=0和 xc 处的角位移用 uc(w) 和 θm(w) 表示为

这里

也就是说，螺纹杆相对于电机的扭曲角度分别由联轴器和螺纹杆的 the serial compliances 1/kc and Xc/GJ 决定。为了得到x=0, xc和L处的纵向位移的类似表达式，我们发现方便地引入左右螺纹杆和推力轴承的刚度术语(3)，我们分别将它们写成

注意到由式(10)给出的总力F被分配到螺母左右的螺钉部分，我们将纵向位移记为

最后，我们将Eq.(11)的第二行，Eq.(14，)和Eq.(10)的中间行组合起来，得到总刚度 kt 的表达式

术语 k1+k2 表示螺纹杆和推力轴承的总轴向刚度，它与刚度为 kn 的螺母串联起作用(即受到相同的力)。因此，该表达式中的前两项表示螺杆的总纵向刚度，其作用与螺杆的总扭转刚度乘以传动比的平方 ρ/2π

。在2.2节讨论的基础上，由式(1)给出的波动方程的解与式。(8)和(9)可以近似为图2所示的准静态形状，前提是运动频率 w 远低于 ）(E/ρ）1/2 和 ）(E/ρ）1/2 。我们通过最小化伽略金类型(例如，(9)形式的加权残差R的误差来执行这种近似

如果电机旋转 θm(w) 是控制电机动态的Eq.(8)的近似解，则该表达式的第一行表示满足Eq.(8)时的误差由 θm(w) 加权。第二、第三和第四行是类似地为支架、螺纹杆的纵向运动和螺纹杆的扭转运动而形成的加权残差。由于系统的可测量输入和输出在电机和滑块上，因此它们的位移 （）uc（w） 和 θm(w) 是模型方便的广义坐标。因此，我们用公式给出的 uc(w) 和 θm(w) 来代替准静态解。将(11)、(14)和图2的残差转化为Eq.(16)给出的残差，并将 ∂R/∂uc 和 ∂R/∂θm 设为零，得到一组在所有可能的准静态变形上最小化动态方程残差的方程。这些方程可以写成我们熟悉的二阶形式

其中,我们介绍了等效电机位移 ）um=(ρ/2π）θm 和等效电机力 ）Fm=(2π/ρ）Tm

.2.2.3质量矩阵。引入 n=2π/ρ 表示系统传动比，我们将质量矩阵M写成这样的形式

在质量矩阵的四个元素中出现的项m是螺旋的有效纵向惯性。它是由

其中A为螺钉的平均横截面积。如果电机锁定，因子 kt/(k1+k2) 是螺旋在 xc 处的纵向位移与滑块的纵向位移的比值，并且括号内的项给出了从螺纹杆段向左和向右的滑块的惯性的贡献。通常，电机端推力轴承可以做得比螺纹杆硬得多，使 kb1>k1 , xc 的系数接近1/3。相反，如果允许离电机最远的轴承轴向滑动，则 kb2=0 和 k2/kb2=1 ，这样相关的系数就变成了单位，也就是说，螺纹杆在滑块右边部分的所有质量都与螺纹杆在 xc 处的运动有关。质量矩阵的左上元素包括电机的惯量 n2Jm 以及由 n2J1 给出的螺杆旋转惯量的贡献,其中；

J 为螺纹杆的平均第二极矩。如果滑块位置锁定，因子( 1−kt/n2ktc )是螺纹杆 θ 在 x=xc 的角位置与电机的角位置 θm 的比值;同样，( 1−kt/n2kc )是␪在x=0处与 θm 的比值。质量矩阵的右下元素包括滑块的惯性以及由 n2J2 给出的螺纹杆旋转惯性的贡献

非对角线项包括由 n2J2 给出的螺纹杆转动惯量的分量，其中

如果使联轴器和螺母具有非常大的扭转刚度，则这些表达式大大简化

.

2.2.4刚度和阻尼矩阵。伽辽金法得到相对简单的阻尼和刚度矩阵但是机器中的大多数阻尼将来自材料界面，并且很难从基本原理中建模(10,11)。许多实验表明，在材料界面(或粘弹性材料)耗散的能量仅与振动频率有一定的（系;因此，它经常被纳入一个模型作为“滞回”或“结构”阻尼增加刚度与一个假想部分共。

(12,13)这样的模型只在频率域有意义，但对于预测给定频率范围内发生的共振相关的阻尼是有用的。为了将滞回阻尼纳入模型，我们将实值刚度 kt 替换为复刚度 （））kt(1+jη∗sgn（w）） ，其中 η 是与总刚度 kt 相关的损失因子。它可以通过对方程(15)给出的kt表达式中的任何构件刚度加复部计算。

2.2.5近似开环极点。当系统为轻阻尼时，可通过微扰展开得到该四阶复刚度系统开环极点(特征值)的近似表达式。如果 wn2Cm/kt , η 的阶为 ϵ ，我们求从0， −σ 和 −σd±jwd 中的极点的近似值，其中 −σ 和 σd 的阶为 ϵ 。将这些表达式代入特征方程，使 ϵ 的同阶项相等，得到

这个实值极点与系统的运动有关，而不使螺纹杆变形。因此，它的值是由与这个“刚体”运动相（的阻尼和惯性的比值给出的。滚珠行星滚柱丝杠/滚珠丝杠系统的纵向共振由杆 −σd±jwd 表征

其中m11、m22和m12为质量矩阵的元素，如式(18)所示。

2.2.6等效粘性模型。到目前为止，本文中的所有建模都是在频域进行的，以便以一致的方式纳入滞回阻尼。但是系统的瞬态响应最容易从时域模型中得到。在得到系统开环极点的(近似)表达式后，我们可以编写一个只有粘性阻尼的模型，该模型具有与具有滞回阻尼的系统相同的近似极点

其中

矩阵M和C由等式给出。(18)和(23)以及公式(25)中定义的 wd 。轻阻尼的摄动展开(如前一节所述)产生与公式所给出的相同的近似开环极点。(24) -(26)。用方程式。(18) -(22)和式(27)中，我们将配置传递函数(从等效电机转矩到电机旋转)写为

其中 Δ(s)=det[Ms2+Ces+Ke] 是等价系统的特征多项式。该传递函数中的复零对对应于电机锁定时车厢的振动。从等效电机转矩到车厢位置的非配置传递函数由

在此传递函数中出现的非最小相位(即右半平面)零对所能实现的闭环性能进行了限制(e.g.,关14,15)

3实验

在本节中，我们将详细介绍在两个行星滚柱丝杠/滚珠丝杠上进行的测量。图3所示的“小负载”使质量为25公斤的车厢移动了360毫米，而图7所示的“大负载”使质量为80公斤的车厢移动了915毫米。对于这两个阶段，我们测量了从电机转矩到车厢位置的传递函数，并将结果与模型预测的结果进行了比较。对于大的阶段，我们也比较动态与没有一个阻尼器插入螺纹杆末端最远的电机。此外，我们在大负载上进行了一组模态试验，以确定与测量谐振相关的模态振型。

3.1小平台。

图3所示的滚珠行星滚柱丝杠/滚珠丝杠段行程约为360毫米。其构造的重要细节见表1，其设计和构造的细节由Hochmuth(16)给出。电机(Aerotechmodel BM200【17】通过圆盘式联轴器（18）连接到螺纹杆上，如图4所示。螺纹杆由一对45度角接触轴承约束，在最靠近电机的一端，并允许轴向滑动，在距离电机最远的一端。该轴承副的预期刚度为140 N/μm，但固定这两个轴承的底座仅使用两个螺栓通过窄接触连接到底座上（图4）

图三

表1滚珠丝杠传动的重要参数。

图4

在已知施加力的情况下，用百分表测量螺钉末端的位移，我们发现总刚度 kb1 际上是51 N/μm。使用这个值以及表1中给出的数字，我们预测轴向共振发生在194hz，非最小相位零发生在975hz。从第一性原理很难预测这样一个系统的阻尼，但根据经验，我们预计该系统的损失因子约为0.02(相当于粘性阻尼比 ζ 为0.01)。因此，我们将 Cc 和 Cm 设为零，并在生成图6所示的传递函数时，简单地将这个损失因子与螺纹杆的总体刚度联系起来。

3.1.1转移函数。通过用正弦转矩激励电机并测量线性编码器的响应来测量从电机转矩到车厢位置的传递函数。实验装置的示意图如图5所示。采用基于pc的DSP板(dSPACE DS1103【19】)进行闭环控制，在电机功率放大器输入端形成的和结处向系统输入扰动信号。使用HP35670A信号分析仪产生正弦干扰，测量输入和输出信号，并确定它们的相对大小和相位

图5

图6

得到的传递函数与模型预测的传递函数吻合较好，如图6所示。测量到的损耗因子和与轴向共振相关的共振频率分别为0.02和180 Hz。在相位为⫺360°的高频下，非最小相位零导致响应的幅度缓慢滚转(底为10是-40分贝而不是-60分贝)。当将测量和预测的传递函数与忽略它将预测的传递函数进行比较时，其影响非常明显，如图6.

3.2大负载平台

第二组实验在图7和图8所示的试验台上进行。它包括直径为25.4 mm，长度为1100mm的行星滚柱丝杠/滚珠丝杠(表2)。根据Varanasi(20)的详细描述，底座是带有内部约束层阻尼器的焊接件。一个质量约为80公斤的支架安装在施尼伯格MRD25(21)滚轮导轨上，并夹紧在滚珠螺母上。电机端轴承支撑由四个背靠背安装的60度角接触轴承组成。无刷伺服电机(Aerotech BM500(17))通过波纹管式耦合共Gam KM12(22)连接到螺钉上。

图8

3.2.1传递函数。

该系统最初设置螺纹杆允许轴向滑动轴承最远的电机和滑块接近其旅行的结束( xc= 813毫米)。假设驱动器的损失因子为0.02，我们在图9中绘制了从电机转矩到电机旋转的预测传递函数，在图10中绘制了从电机转矩到支架位置的预测传递函数。这与分别使用电机编码器和线性编码器反馈得到的测量数据吻合得很好。接下来，我们在离电机最远的推力轴承上安装一个粘弹性阻尼器，方法是将EAR-C1002(23)阻尼材料的薄垫圈与四个角接触轴承串联在一起。螺纹杆在这些轴承上预紧，由于阻尼垫圈相对较差，螺纹杆的热膨胀导致螺纹杆的张紧预紧力只有很小的下降。可见共弹性垫圈的期望复刚度(表示 kv 图2)为 40(1+jsgn(w))N/μm 。使用这个值，我们期望得到0.18的损耗因子，并从测量中得到0.14的损耗因子。预测和实测传递函数如图11和图12所示

图9

结果汇总见表3。根据该模型，非最小相零应该出现在大约1500Hz，但我们的测量在频率超过450 Hz时，随着响应的幅度减小，被量化误差所掩盖。预测响应与实测响应的比较表明，在最坏的情况下，谐振频率被高估了多达4%。这可能是由于在我们的计算中忽略了各种柔度和惯性，例如由底座弯曲或轴承块与底座接触引起的柔度和惯性。

3.2.2模态试验。在图8中，我们展示了机器模态试验中激励和测量位置的位置。电磁激振器通过力传感器共PCB208B(24)在点3附近施加随机激励。在图8所示的24个点上，使用三轴加速度计(PCB 356B08【24】)测量响应。点1到4位于滑块的四个角上，点5到8位于电机侧轴承座上，点9到16位于机座的直线导轨面上。在

图10

图11

螺纹杆本身，测量点17到24被选为完全相反的，以便捕捉螺纹杆的拉伸和扭曲运动。力传感器和加速度计与信号分析仪(HP35670A)连接，获得力-加速度传递函数，从中提取谐振频率、阻尼比和模态振型。在图13中，我们展示了(在平面视图中)从未变形位置开始的系统第一柔性模态的一系列快照。从图中可以看出，该模式对应于伴随着螺纹杆拉伸和扭转的滑块轴向运动，与模型一致。测量的谐振频率和阻尼比与正弦扫描实验结果吻合得很好。

图12

图13

4结论

丝杠传动系统的闭环性能受到驱动共振的限制，其中动能存储在车厢、电机和丝杠上;势能储存在螺杆、轴承和螺母中;能量主要在轴承、螺母或螺栓接头的材料界面上消散。对于大多数设计，这种共振与一种模态振型有关，在这种模态振型中，螺旋中的扭转和拉伸应变沿推力轴承和螺母之间的螺旋部分均匀分布。我们用电机和小车的位移参数化了这个形状，并用伽辽金程序推导出丝杠系统的降阶模型。模型中的能量耗散由滞回阻尼和粘滞阻尼同时考虑。对于轻阻尼，扰动展开得到了系统开环极点的简单公式，由此我们得到了一个等效的粘性阻尼模型，以及从电机转矩到电机旋转和车厢位置的传递函数。在一对滚珠丝杠级上进行的实验表明，该模型准确地预测了开环传递函数，包括从电机转矩到小车位置的传递函数中非最小相位零点的位置

驱动共振对性能的影响很大程度上受到系统阻尼的影响。传统建筑材料(如钢、铸铁或铝)所消耗的能量与轴承和接头中微滑移所消耗的能量相比通常可以忽略不计。这种阻尼很难预测，并且经常随着机器的温度和润滑状态而变化。粘弹性阻尼器集成到推力轴承支持丝杠提供可预测的和相对较高的阻尼，而不需要非常高的预紧力。本文中提出的模型为采用反馈控制的高性能驱动器的设计程序奠定了基础(20,25)，除非包装限制非常严格，否则通常可以选择推力轴承、滚珠螺母、联轴器以及它们相关的安装件，使其比螺杆本身更坚硬;这将产生相对坚硬的驱动器，并允许在质量和刚度矩阵中出现相当大的简化。其次，选择粘弹性阻尼器在驱动共振中产生已知的损失因子。随着重要的机械设计参数，如螺杆的引线和直径，一个给定形式的控制器可以参数化合理的约束。最后，可以优化组合参数集，以最大化所需的性能指标，如闭环带宽或设置时间

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