向量
在高中时期，其实大家就已经学过向量的相关知识了，这儿我们再复习一遍。
什么是向量？
在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。
在 3D 笛卡尔坐标系, 基本上一个顶点就是XYZ坐标空间上的⼀一个位置. ⽽而在空间中给定的一个位置恰恰是由⼀个单独的XYZ定义的而这这样的XYZ就是向量。
向量长度计算
向量长度通过下列公式计算：
单位向量
单位向量是长度为1的向量。
如果一个向量不是单位向量，可以通过单位化将其转化为单位向量，即非零向量除以向量的模。
向量点乘
- 向量点乘只能发生在两个向量之间，且点乘时，两向量必须是单位向量，如果不是，需要将向量进行单位化后，再点乘
-
点乘得到的是两个向量之间的夹角的余弦值 即 cosα，范围在[-1, 1]之间，是一个标量
image.png - OpenGL中提供了关于向量点乘的API:
// m3dDotProduct3 函数获得2个向量量之间的点乘结果;
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
// m3dGetAngleBetweenVector3 即可获取2个向量之间夹⻆角的弧度值;
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
向量叉乘
- 两个向量之间叉乘得到结果同样是一个向量，且该向量垂直于两个向量所构成的平面
-
由于结果与两向量构成平面垂直，也可以理解为得到的结果是该平面的法线
image.png - OpenGL中提供了关于向量叉乘的API:
// m3dCrossProduct3 函数获得2个向量量之间的叉乘结果得到一个新的向量量
void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f u ,const M3DVector3f v);
矩阵
假设，在空间有⼀个点，使⽤xyz描述它的位置。此时让其围绕任意位置旋转⼀定⻆度后，我们需要知道这个点的新的位置，此时需要通过矩阵进⾏计算。因为新的位置的不单单与原来的位置有关，还和旋转的参数有关。
矩阵分类
- 行矩阵：一行一行读取
- 列矩阵：一列一列读取
单元矩阵
- 主对角线上数据都是1，其余元素都是0，即为单元矩阵
- 向量 X 单元矩阵 = 向量 X 1，不会发生任何变化
- 向量与单元矩阵相乘的前提是：向量的列数 == 单元矩阵的行数
矩阵点乘
- 矩阵可以进行点乘的前提：两个矩阵的行列数相等
- 矩阵A · 矩阵B = 矩阵C
-
规则： 矩阵A的第一个元素与矩阵B的第一个元素的乘积 = 矩阵C的第一个元素
图片来源于网络
矩阵叉乘
- 矩阵可以进行叉乘的前提：第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数
- 矩阵A X 矩阵B = 矩阵C
- 规则：矩阵A第一行与矩阵B第一列对应元素乘积的综合 = 矩阵C的第一个元素
OpenGL中的矩阵
- 通过
GLFloat定义一个一维数组
image.png
通过M3DMatrix44f创建一个单元矩阵
image.png - 通过方法
m3dLoadIdentity44f创建单元矩阵
void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);
矩阵图解
- OpenGL中，使用较多的矩阵都是一维数组创建的，且规定使用以列为主的矩阵排序
-
OpenGL中的矩阵都是4x4的，每一列都是由4个元素组成的向量
1、第一列表示x轴方向
2、第二列表示y轴方向
3、第三列表示z轴方向
4、第四列表示交换位置
5、列向量进行了特殊的标注，表示这是以列为主的矩阵，主要体现为矩阵的最后一行都是0，只有最后一个元素为1
image.png
矩阵相乘
数学角度中的矩阵相乘
数学中为了方便计算，都是以行矩阵为标准，从左到右的顺序进行计算，所以在数学中，顶点将以行向量的方式表示
从数学角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是行向量，要满足矩阵相乘的规定条件（即 叉乘的前提），必须将mvp矩阵放在右边
- 变换后顶点向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro
-
变换后顶点向量 = 顶点 * 模型矩阵 * 观察矩阵 * 投影矩阵
图片来源于网络
OpenGL角度中的矩阵相乘
OpenGL中的矩阵规定是以列为主，所以顶点以列向量的方式表示
从OpenGL角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是列向量，如果项进行矩阵规则，就需要满足矩阵相乘的条件，需要将mvp矩阵的顺序颠倒为pvm
- 变换顶点向量量 = M_pro * M_view * M_model * V_local
-
变换顶点向量量 = 投影矩阵 * 视图变换矩阵 * 模型矩阵 * 顶点
图片来源于网络
OpenGL矩阵堆栈中矩阵相乘源码分析
1
- 从栈顶获取栈顶矩阵 复制到 mTemp
- 将栈顶矩阵 mTemp 左乘 mMatrix
- 将结果放回栈顶空间⾥里里
2.
