应用统计学第九周作业（SPSS相关性分析，相关系数）

1.

book.10.1.sav

我选择皮尔逊相关系数，因为从散点图来看生产费用和产量近似可以看做一条直线，而衡量线性相关程度的pearson相关系数=0.920也印证了这一点。

book10.6.sav

我选择斯皮尔曼相关系数，因为从散点图来看不是很接近一条直线，而类似于一条指数函数的曲线，所以不应该是线性关系，同时斯皮尔曼相关系数和肯德尔相关系数都要高于皮尔逊相关系数，所以我选择相关系数最高的spearman相关系数。

2.

$X = \left[\begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1 p} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2 p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{n 1} & x_{n 2} & \cdots & x_{n p} \end{array}\right]$
$X'_{p\times n}X_{n\times p} = (X'X)_{p\times p}$
$g_{p\times 1}g' _{1\times p} = (gg')_{p\times p}$

$X'X = \left[\begin{array}{cccc} x_{11} & x_{21} & \cdots & x_{n 1} \\ x_{12} & x_{22} & \cdots & x_{n 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{1 p} & x_{2 p} & \cdots & x_{n p} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1 p} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2 p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{n 1} & x_{n 2} & \cdots & x_{n p} \end{array}\right]$

对于V矩阵对角线上的元素，因为
$s_j^2= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{ij}-\bar x_j)^2 \\ = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_{ij}^2-n\bar x_j^2}{n}\\ = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_{ij}^2}{n}-\bar x_j^2\\ = \frac{1}{n}X'X-gg'$
对于非对角线上的元素
$S_{ij}=\dfrac{1}{n}\sum ^{n}_{i=1}\left( x_{ij}-\overline{x}_{j}\right) \left( x_{ik}-\overline{x}_{k}\right)\\ =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_{ij}x_{ik}-\bar x_jx_{ik}-\bar x_kx_{ij}+\bar x_j\bar x_k)\\ = \dfrac{1}{n}\sum ^{n}_{i=1}x_{ij}x_{ik}-\overline{x}_{j}\overline{x}_{k}\\ = \frac{1}{n}X'X-gg'$

所以 $V = \frac{1}{n}X'X- gg'$ 成立。

3.

pearson相关系数如果不做标准化处理，结果会受到量纲的影响，所以为了消除量纲的影响做了标准化处理，而这一处理刚好使得相关系数在-1到1之间，且绝对值越大，线性相关关系越强，绝对值越接近0，线性相关关系越弱。使我们判断变量之间的相关关系更加方便。

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应用统计学第九周作业（SPSS相关性分析，相关系数）