回顾上一次的一个OLS, GLS，SI, MME的发展示意图：
MME是Henderson将混合模型的转换得到
1 MME的起源
Henderson提出，其想法是结合OLS与SI，得到了MME。
过程：
首先我们知道：OLS解出的u往往比SI的大。
这样需要在求u时，除以一个更大的值，这是加入一个正矩阵Z‘Z，假设用D代表：
即对原来的解释器进行了惩罚
使用前面求公牛的女儿产奶量的平均值的例子：采用每个奶牛的女儿数进行了一定修改， 或其可以加上一个假设值D
实际上对于D我们可以进行猜测：
- 如果惩罚非常大(即没有进行遗传)，使h2 接近0，则D 就是无限大；
- 惩罚非常小(即全部遗传， 使h2 接近1，则D 接近0；
所以D应该是和1-h2, 1/h2，和(1-h2)/h2成比例
PS：当为sir模型时， 应该是(4-h2)/h2,
第二个结论：
解释：u和y的协方差，在SI中是AZ’，直观来看，D 必须与 A-1 成正比，因为整个块 ZZ' + D 是倒置.
但是真正的证明以下公式，是20年后，由Searle教授完成（书籍 《Variance components》有详细证明）：
所以最佳线性无偏估计（β，固定效应）和最佳线性无偏预测（u,随机效应）是由以下组成：
Henderson对上述式子从新编写为：
2一般的MME
其中 R = Var(e); G = Var(u), 并且认为已知。
相当于SI（β已知）：
3 更一般时
会有多性状模型： 其有利于具有缺少值的样本加入， 也有利于多性状的相关性分析
一样的矩阵公式：
但是其中基于R0和G0的“多性状”反映在R 和 G内部
其中 R0 关联多性状观察值残差的方差协方差矩阵; G0 表示的反映检测性状的随机效应之间的方差协方差矩阵
3 混合模型常见概念
MME = 固定效应 + 随机效应
较少levels 较多levels（不能知道全部）
估计算法 BLUE BLUP
但是两者没有非常明确的区分
各自在模型的作用：
固定效应：各水平的平均值： E(y) = Xβ
随机效应：随机因子的方差协方差矩阵： Var(y) = ZGZ' + R
最佳线性无偏估计=BLUE（β，固定效应）和最佳线性无偏预测=BLUP（u,随机效应）
BLUE与BLUP的区别是由SI传承得到
但是：SI中只是BLP， 缺少u， 即不是无偏
BLUE and BLUP <= MME
可以采用不同方法得到：
- 迭代SI，修正的当代比较（校正用于获得 E(y) 的动物的遗传价值）
-
两步法
(1） 先使用GLM 得到β
image.png
其>=BLUP
(2) 再使用SI得到u：
其>=BLUP
Acurracy and reliability
每个u都有预测误差，对u的评价使用Acurracy or reliability有两种方法：
-
Acurracy(准确性)如下：
image.png
起源于SI理论：
image.png
经常直接使用square root of SI coefficents - reliability（可靠性） 两种算法
（1） reliability = Acurracy2
（2） reliability 从MME系数C-1中求得，C为MME的预测误差方差（prediction error variance, PEV） （MME简写 Cs = r）
image.png
PS这里是没考虑个体之间的近交系数，目前进行GS时，应该考虑加上。
建立MME的矩阵
X与Z往往不是全矩阵（即，内部有很多0）
Xi 和Zi与 观察者i相关联，所以：
这样X'X, Z'Z, X'y， Z‘y均可以直接设定：
如一个固定模型：
需要分开写：
最后求和到一起：
右手项一样
R
Integration（微积分） R-1， R-1是等于R对角线取倒数（如果没有协方差）
多性状时， X‘X等元素都Kronecker product（直积）R-1
对上述的拓展到MME，随机效应的最小二乘 (LS) 部分与固定效应相同,对C加入G-1：
进一步简化公式：
这反映出了G-1中可以加入任何的LS系数
G-1 可以加入性状effectlevels 的协方差
计算使用计算空间
刚才看到建立MME是基于一个个记录数*性状
- Cs = r计算中， C与r均需要储存在计算机memory（运行内存）中，需要较大的计算空间， mostly in sparse manner
- Iteration of data(IOD，数据迭代法). 存储在服务器硬盘中，只有当需要C与r时，才计算
所以对大数据时，加速办法：
- 基于稀疏存储的稀疏逆
- IOD linked to Jacobi, Gauss-Seidel, PCG（BLUP90IOD* program）
迭代求解MME
-
方程式： Jacobi + Gauss-Seidel
在Cs = r中， 需要对s不断更新， 在前n-1次迭代：使用Jacobi；在第n次迭代：使用Gauss-Seidel
image.png
一个小例子：
image.png
Jacobi达到数值解不变
By blocs, 方程组通过对C的一部分求逆来求解， 多性状模型是必要的
-
其他方法： PCG(Preconditioned Conjugate Gradient)（BLUP90IOD* program）
image.png
contemporary comparison法
从历史来看，SI是非常成功，目前也在综合育种中使用
但是SI在估计单个性状EBV时，会出现偏差，因为其实基于已知的偏差经验求取，但是已知的偏差经验具有偏差。
从当时来看，同代群体的基因水平可能不同
SI在奶牛中称为： contemporary comparison（CC） 1950-1960使用在奶牛育种中，用于区分好和坏的公牛，并且很快获得了成功。
CC模型： y = Xt + Za + e
但是对于已经开始育种的牛，这个表型deviation（偏差）会随着时间累积，越来越难估计，甚至会出现有的估计不到。
这就需要我们对其进行修改：
- 使用BLUP
- 校正CC模型： 如果在偏差中有误差，我们进行矫正。这个误差在同代没有遗传相关的牛群中很容易计算
第一种：偏差和 EBV 的联合计算，所以没有误差
第二种： modefied CC(MCC)，迭代计算:
(1) 从偏差处计算EBV
(2) 调整当代EBV的偏差
(3) return to (1)
(4) 直到结果稳定（即收敛），收敛的结果与BLUP的相同
怎么实现：
当计算t时，对y的部分进行校正：
迭代，直到收敛：
总图：
其他人的BLUP讲解
今天无意看到一个不错的文章，介绍BLUP，这里给出网址，可以查看
https://zhuanlan.zhihu.com/p/43395772
