数理统计的直观理解

数理统计学存在的意义：

某工厂生产了大批的电子元件，一般来说，假定该电子元件的寿命服从指数分布，那么，有两个问题：
a. 元件的平均寿命如何？
b. 我要求平均寿命超过 $l$ =5000小时，能不能在这家工厂购买元件？

指数分布的概率函数为
$\begin{align} f(x)= \left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x}, x>0 \\ 0,x\leqslant 0 \end{matrix}\right. \tag{1.1} \end{align}$
指数函数的分布函数为：
$\begin{align} F(x)= \left\{\begin{matrix} 1 - e^{-\lambda x}, x>0 \\ 0,x\leqslant 0 \end{matrix}\right. \tag {1.2} \end{align}$

若我们知道该分布的 $\lambda$ 的值，则可以很轻松的知道上述两个问题的答案，但是，通产情况下， $\lambda$ 的值是不知道的，这个时候我们只好随机抽取进行质量检测。从一大批元件中抽出若干个( $n$ 个)，并测出其寿命 $X_1, X_2, X_3...$ 。

那么，简单来说，上面这段话总结为下列两个问题：

这 $n$ 个元件怎么选？（随机选，保证每一件都有同等的机会被选出）
选取之后该如何做？
有了数据 $X_1, X_2, X_3...,X_n$ 之后，一个很自然的想法是用算数平均值 $\overline {X}$ 去逼近其平均寿命。当然， $\overline {X}$ 不一定等于 $\lambda^{-1}$

new question is：

$\overline {X}$ 与 $\lambda^{-1}$ 的误差有多大？
产生指定大小误差的概率有多大？
把这个概率减少到一定程度，需要抽取的 $n$ 是多少？

问题 a. 元件的平均寿命如何？
（参数估计问题）
b. 我要求平均寿命超过 $l$ =5000小时，能不能在这家工厂购买元件？
（假设检验问题）
似乎第一个问题解决了，第二个问题也就能够解决了，但是，因为 $\overline {X}$ 与平均寿命存在一定误差，我们需要根据实际值进行调整，我们把接受标准定为 $\overline {X} > l_1$ ，若 $l_1$ 取的大些，说明检验更加严格； $l_1$ 小一些，则检验更宽松，但是，在理论上，多出可能有两个错误：寿命达到需求，但是被拒收了；寿命未达到需求但是被接受了。这两种错误都有一定的概率，很大程度上取决于 $\overline {X} > l_1$ 中 $l_1$ 的选择。