高等代数--商空间

商集的定义

设 $V$ 是域 $F$ 上的线性空间，取V的一个子空间 $W$ ，在 $V$ 上定义一个二元关系：
$\alpha \sim \beta \ \ \ \ iff\ \ \ \alpha -\beta \in W$ (iff表示当且仅当)
$V$ 的所有 $\sim$ 等价类组成的集合称为 $V$ 对于关系 $\sim$ 的商集，记作 $V/\sim$ ， $V/\sim$ 也称为 $V$ 对子空间 $W$ 的商集，记为 $V/W$ 。
那么由 $\alpha \in V$ 确定的等价类 $\overline{\alpha }$ 就是：
$\overline{\alpha } =\left\{ \alpha +r\ |\ r\in W\right\}$
这是因为，如果我们假设 $\beta \sim \alpha$ 那么一定有 $\beta - \alpha \in W$ 那么我们可以假设 $\beta - \alpha = r$ 则 $\beta = \alpha + r\ \ \ \ r \in W$ 所有这样的 $\beta$ 构成了 $\alpha$ 的等价类 $\overline{\alpha }$ 。
我们也用 $\alpha + W$ 表示 $V$ 的一个子集 $\left\{ \alpha +r\ |\ r\in W\right\}$ ，称它是 $V$ 的一个 $W$ 型线性子簇，称 $V/W$ 为 $V$ 的所有 $W$ 型线性子簇
故 $V/W = \left\{ \alpha +r\ |\ r\in W\right\}$ 其中，我们称 $\alpha$ 为代表元
从上面给出的定义不难发现：
两个等价类 $\overline{\alpha }\ , \overline{\beta }$ 相等当且仅当它们的代表元等价，即 $\alpha + W = \beta +W \Leftrightarrow \alpha - \beta \in W$

商空间的定义

设 $W$ 是域 $F$ 上线性空间 $V$ 的一个子空间，在商集 $V/W$ 中规定如下运算：
$(\alpha +W)+(\beta +W)=\left( \alpha +\beta \right) +W\\k(\alpha +W)=k\alpha +W,\ k\in F$
$V/W$ 对于上述两种运算构成域 $F$ 上的一个线性空间，零元素是 $W$ 即 $0+W$ ，称 $V/W$ 是 $V$ 对 $W$ 的商空间

商空间的维数

定理: 如果 $W$ 是域 $F$ 上有限维线性空间 $V$ 的一个字空间，则 $dim(V/W) = dim(V)-dim(W)$

证明：

在 $W$ 中取一组基 $\alpha_{1} \ ,\cdots ,\ \alpha_{s}$ ，把它扩充成 $V$ 的一组基
$\alpha_{1} \ ,\cdots ,\ \alpha_{s} ,\ \alpha_{s+1} \ ,\cdots ,\ \alpha_{n}$
任取 $\beta +W \in V/W$ ，设 $\beta = b_1 \alpha_1 +\cdots +b_n \alpha_n$ ，则
$\beta + W = (b_1 \alpha_1 +\cdots +b_n \alpha_n)+W\\ =(b_1 \alpha_1 + W)+ \cdots +(b_s \alpha_s + W) + (b_{s+1} \alpha_{s+1}+W)+ \cdots +(b_n \alpha_n +W)$
由于 $\alpha_1, \cdots, \alpha_s$ 均是 $W$ 中的向量，从而 $b_i \alpha_i +W =W,\ \ i=1,2,\cdots s$ 于是上式等于：
$=W+(b_{s+1} \alpha_{s+1}+W)+ \cdots +(b_n \alpha_n +W)\\ =b_{s+1}( \alpha_{s+1}+W)+ \cdots +b_n (\alpha_n +W)$
说明 $V/W$ 中任一向量可以表成 $\alpha_{s+1}+W,\cdots,\alpha_n + W$ 的线性组合，所以若 $\alpha_{s+1}+W,\cdots,\alpha_n + W$ 线性无关，那么它就是 $V/W$ 的一组基，从而：
$dim(V/W) = n-s = dim(V)-dim(W)$ 下证 $\alpha_{s+1}+W,\cdots,\alpha_n + W$ 线性无关。
使用反证法，假设存在一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots , k_{n-s}$ 使
$k_1 (\alpha_{s+1} +W)+\cdots+k_{n-s}(\alpha_n + W) = 0+W$
从而 $k_1 \alpha_{s+1} +\cdots + k_{n-s} \alpha_n \in W$ ，那么一定存在 $l_1,l_2,\cdots,l_s$ 使 $k_1 \alpha_{s+1}+\cdots+k_{n-s} \alpha_n = l_1 \alpha_1 + \cdots +l_s \alpha_s$ ，即
$k_1 \alpha_{s+1}+\cdots+k_{n-s} \alpha_n-l_1 \alpha_1 - \cdots -l_s \alpha_s = 0$ 也就是说 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 线性相关，显然矛盾，
于是 $\alpha_{s+1}+W,\cdots,\alpha_n + W$ 是 $V/W$ 中的线性无关线性无关向量，结论得证。