题目描述
在一排多米诺骨牌中，A[i] 和 B[i] 分别代表第 i 个多米诺骨牌的上半部分和下半部分
一个多米诺是两个从 1 到 6 的数字同列平铺形成的 —— 该平铺的每一半上都有一个数字
我们可以旋转第 i 张多米诺，使得 A[i] 和 B[i] 的值交换
返回能使 A 中所有值或者 B 中所有值都相同的最小旋转次数
如果无法做到，返回 -1
示例：
输入：A = [2,1,2,4,2,2], B = [5,2,6,2,3,2]
输出：2
示例：
输入：A = [3,5,1,2,3], B = [3,6,3,3,4]
输出：-1
数据结构
- 数组
算法思维
- 遍历、贪心
关键知识点：贪心算法（greedy algorithm）
- 适用于求解 最优子结构 的问题，最优子结构就是局部最优解能决定全局最优解
- 贪心法可以解决 图中的最小生成树、求哈夫曼编码 等问题
- 但有些问题贪心算法并不能获得最优解，如背包问题
- 贪心法也可以用作辅助算法或者直接解决一些近似最优解的问题
核心理念
- 通过每一步的局部最优解来获得全局最优解
求解步骤
- 创建数学模型来描述问题
- 把求解的问题分成若干个子问题
- 对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解
- 把子问题的解合并成原来问题的一个解
解题步骤
一. Comprehend 理解题意
行相等的最小多米诺旋转
- 多米诺骨牌
• 每张牌由2个1-6的数字A[i]， B[i]组成 - 多米诺旋转
• 交换每张牌的A[i]与B[i] - 行相等的最小多米诺旋转
• 使得A或B中元素全部相同的最小旋转次数
细节问题
- 可能不存在多米诺旋转使 A 中所有值或者 B 中所有值都相同
二. Choose 选择数据结构与算法
数据结构选择
- 输入的数据类型为两个整形数组表示每张多米诺骨牌的两个数字
- 输出的数据类型为一个整数
- 因为需要处理的是两个由1到6数字组成的整数集合，我们使用数组作为数据结构
算法思维选择
- 题目要求寻找使得行相等的最小多米诺旋转
- 首先判断是否存在这样的旋转，再求解最小旋转次数
- 统计 1-6 这六个数字的出现次数
在A中出现的次数
在B中出现的次数
在骨牌出现的次数（在多少个骨牌中出现过，骨牌上下都出现需记作一次）
三. Code 编码实现基本解法
解题思路剖析
- 统计1到6这6个数字出现在多少张多米诺骨牌中以及分别在A、B出现的次数
- 只有数字2在所有牌中出现
- 且在A中出现的次数4 > 在B中出现的次数3
代码实现
class Solution {
public int minDominoRotations1(int[] A, int[] B) {
int n = A.length;
//记录1-6数字分别在A，B中出现的次数、在多米诺骨牌出现的次数
int[] countA = new int[6];
int[] countB = new int[6];
int[] countAB = new int[6];
//遍历骨牌，统计出现次数
for (int i = 0; i < n; i++) {
countA[A[i] - 1]++;
countB[B[i] - 1]++;
countAB[A[i] - 1]++;
if (A[i] != B[i])
countAB[B[i] - 1]++;
}
//在骨牌统计表找到出现次数等于骨牌总数的数字
for (int i = 0; i < 6; i++) {
if (countAB[i] == n) { //计算最小的旋转次数
return (n - Math.max(countA[i], countB[i]));
}
}
//找不到返回-1
return -1;
}
}
时间复杂度：O(n)
• 统计 1 - 6 数字出现的次数，遍历多米诺骨牌 O(n)
• 寻找在所有多米诺骨牌出现的数字及最小多米诺旋转，需要对 6×3 数组进行操作 O(1)
空间复杂度：O(1)
• 常数级变量空间 O(1)
执行耗时：7 ms，击败了 33.33% 的Java用户
内存消耗：46.1 MB，击败了 85.16% 的Java用户
四. Consider 思考更优解
剔除无效代码 优化空间消耗
- 遍历所有骨牌是必须的吗？
寻找更好的算法思维
- 每张多米诺骨牌上只有两个数字，如果存在行相等则旋转的最终结果
• A中的数字都是 A[0] 或者 A中的数字都是 B[0]
• B中的数字都是 A[0] 或者 B中的数字都是 B[0] - 故只需考察A[0]、B[0]在其他骨牌上的出现情况
- 若某骨牌中不存在A[0]、B[0]，则提前终止，无需浏览后面的骨牌
贪心算法
- 创建数学模型来描述问题
• 给定两个由 1-6 数字组成的数组 A 和 B
• 通过多米诺旋转（交换 A[i] 和 B[i] ），使得 A 或 B 中元素全部相同
• 要求进行尽可能少的交换来完成任务 - 划分子问题
最小多米诺旋转如果存在，一定是下面两种情况中的一种：
• 将 A 或 B 中的元素全部变成 A[0]
• 将 A 或 B 中的元素全部变成 B[0]
- 求解子问题
• 尝试将A中的元素全部变成A[0]
• 需要交换(A[1], B[1])，(A[3], B[3])
• 执行2次多米诺旋转操作
• 再尝试将B中的元素全部变成A[0]
• 需要交换(A[0], B[0])，(A[2], B[2]) ，(A[4], B[4])
• 执行3次多米诺旋转操作
• 尝试将A中的元素或B中的元素全部变成B[0]
• 很快发现第二张牌的两个数字没有5，那么不可能将A中或B中元素全部变成B[0] - 合并子问题的解
• 尝试将A中的元素全部变成A[0]
执行2次多米诺旋转操作
• 再尝试将B中的元素全部变成A[0]
执行3次多米诺旋转操作
• 尝试将A中的元素或B中的元素全部变成B[0]
不可能将A中或B中元素全部变成B[0]
综上最小多米诺旋转次数为 2
五. Code 编码实现最优解
解题思路剖析
- 判断能否将A中或B中全部元素变成A[0]
• 若能，返回旋转次数少的那个，不用再检查B[0]
• 如果A[0] == B[0]，再检查B[0]没有意义
• 如果A[0] != B[0]，仅当骨牌中只有A[0]、B[0]两个数字才能将A中或B中全部元素变成B[0]，此时最小旋转次数将和A[0]一样
• 若不能，并且A[0] != B[0]，再判断能否将A中或B中全部元素变成B[0]
class Solution {
public int minDominoRotations(int[] A, int[] B) {
int n = A.length;
int rotations = check(A[0], A, B, n);//元素全部变成A[0]，最少需要多少次旋转
//如果A[0]==B[0], 那么不用继续检查B[0]
//如果A[0]!=B[0] 且可以将A或B中的元素全部变成A[0]，那么也不用再检查B[0]
if (rotations != -1 || A[0] == B[0])
return rotations;
else
return check(B[0], A, B, n); //全部变成B[0]，最少需要多少次旋转
}
//检查将A或者B中元素全部变成x需要多少次旋转
public int check(int x, int[] A, int[] B, int n) {
//rotationsA存将A中元素变成x需要多少次旋转，rotationsB存将B中元素变成x需要多少次旋转
int rotationsA = 0, rotationsB = 0;
//遍历骨牌判断是否能完成任务（在A中完成或者在B中完成）
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 如果当前多米诺骨牌上没有数字x，那么不可能完成任务
if (A[i] != x && B[i] != x) return -1;
// 如果当前多米诺骨牌上A[i]不是x，那么rotationsA需要+1
else if (A[i] != x) rotationsA++;
// 如果当前多米诺骨牌上B[i]不是x，那么rotationsB需要+1
else if (B[i] != x) rotationsB++;
}
// 返回最小旋转次数
return Math.min(rotationsA, rotationsB);
}
}
时间复杂度：O(n)
• 最差情况：需要遍历所有骨牌 O(n)
空间复杂度：O(1)
• 常数级内存空间 O(1)
执行耗时：4 ms，击败了 99.06% 的Java用户
内存消耗：46.2 MB，击败了 77.42% 的Java用户
六. Change 变形与延伸
题目变形
- （练习）每一张骨牌上有3个数字，每次旋转可互换3个数字中相邻的两个，求使得A、B、C中某一个数组数字全部一样的最小多米诺旋转次数？
延伸扩展
- 贪心算法是一种基础的算法思维
• 适用条件：最优子结构可获得全局最优解 - 贪心算法在实际工作中的应用
• 图中的最小生成树算法
• 单源最短路径迪杰斯特拉算法
