姓名：黄姣蕊
学号：21011110244
【嵌牛导读】三维曲面重建算法研究与仿真分析
【嵌牛鼻子】三维点云，三维曲面重建，计算机视觉
【嵌牛提问】三维曲面重建算法的研究
【嵌牛正文】
一、3L-IBS算法(3L-Implicit B-Spline Algorithm)
该算法是由两个额外的水平集及原数据集构成如{P-sigma,P0,P+sigma} ，将3L拟合算法形式化为一个线性最小二乘显式多项式拟合问题：
目标函数：求解上述3L算法的超定系统等价于最小化以下数据项：
这个函数是关于系数向量的二次函数，它的导数：
可以求得：
隐式B样条(IBS)函数是由b样条张量积的线性组合定义：
首先对点云进行标准化变成一个单位立方体。均匀节点序列的步长为：
每一点在均匀节点上的索引坐标定义为：
利用最小二乘法求出：
对于上述求得的基矩阵非常稀疏，它可能导致不止一个最优解，因此考虑了正则化的全局张力项：
将正则项添加到3L-IBS算法的目标函数中变为：
可求出：
Matlab 仿真结果:
【参考文献】
1、Rouhani M , Sappa A D , Boyer E . Implicit B-Spline Surface Reconstruction[J]. IEEE Transactions on Image Processing A Publication of the IEEE Signal Processing Society, 2015, 24(1):22-32.
二、Marching Cube 算法
Marching Cube 算法是三维规则数据场等值面生成的经典算法。Marching Cube 算法有个基本假设：沿六面体边的数据场呈连续性变化。也就是，一条边的两个顶点分别大于或小于等值面的值。等值面是空间中所有具有某个相同值的点的集合。可以表示成为：
对于某棱边，他的两个端点分别标记为v1,v2，那么等值面一定与这个棱边相交，交点为：
其中，P代表等值点坐标，P1,P2代表两个端点坐标，v1,v2代表两个断点的权重值，isovalue代表阈值。
六面体顶点的标记、权值以及法向的求法：需要求出以R(参数)为半径，以顶点为球心的球内的所有点云数据。记顶点为P，邻近点为Ki（i从1到n)，邻近点的法向量为Ni(i从1到n)，邻近点的权重Wi(i从1到n)，顶点的法向量为G,d(p,Ki)表示顶点到Ki点的欧式距离,kiP表示向量。则：
14种三角剖分的模式：
用Matlab 仿真结果：
Visual Stutio 2015 C++仿真结果：
【参考文献】
1、Lorensen W E, Cline H E. Marching cubes: A high resolution 3D surface construction algorithm[J]. Acm Siggraph Computer Graphics, 1987, 21(4):163-169.
