高中函数定义与性质

初中函数：

定义域：自变量 x 取值集合
值域：函数值 y 取值集合

正比例函数：y=kx (k!=0)
一次函数：y=kx+b (k!=0)
反比例函数：y=k/x (k!=0)
二次函数：y=ax^2+bx+c (a!=0)

高中函数：

设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使位于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 与它对应，那么就称 f: A->B 为集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f(x), x∈A

定义域：x的取值范围 A 叫做定义域
值域：函数值的集合

f 理解为法则，或者理解为运算，f(x) 对任意一个 x 运用法则（或者运算）之后，可以得到一个函数值
f(1) x 取 1 的时候对应的函数值

例题：

已知： f(x) = x^2-x+3 求：f(-1) f(a) f(x+1) f(1/x)
f(x^2) f(f(x))

f(-1) = (-1)^2-(-1)+3 = 5
f(a) = a^2-a+3
f(x+1) = (x+1)^2-(x+1)+3 = x^2+x+3
f(1/x) = (1/x)^{2-(1/x)+3=1/x}2-1/x+3
f(x^2)=(x2)^2-x2+3=x^4-x2+3
f(f(x))=f(x^2-x+3)=(x2-x+3)^2-(x2-x+3)+3 = x^4-2x3+6x^2-5x+9

函数的三要素：

定义法则 f，定义域 A，值域{f(x) | x∈A}
只要定义域和法则相同，则两个函数就是同一个函数

区间的概念：
a<= x <=b 叫做闭区间 [a, b]
a<x<b 开区间(a, b)
a<=x<b 半开半闭区间 [a, b)

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求函数解析式的方法：p15(函数的表示法(中))

待定系数法
配凑法
换元法
解方程组法

函数与映射的区别，函数 A 和 B 必须是数集，
映射 f: A -> B 可以使任意集合，不一定非得是数集

映射：多对一是映射，一对多不是映射，一对一是映射，B 集合可以有多余元素，A 集合的元素不能有多余的，A 集合的每个元素必须都能对应 B 集合中的一个元素

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函数单调性：

1. 增函数：函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2，当 x1 < x2 时，都有 f(x1) < f(x2)，那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函数

2. 减函数

3. 单调性和单调区间：y=f(x) 在某个区间上是增函数或者减函数，就说 y=f(x)在这个区间具有单调性，区间叫做单调区间

求函数最大值最小值的方法：

1. 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

2. 利用图像求函数的最大(小)值

3. 利用函数单调性判断函数的最大(小)值

函数的奇偶性

定义域必须关于原点对称：定义域内任意一个 x，-x 也必须在定义域内

偶函数：任意一个 x，都有 f(-x) = f(x)，f(x) 就叫做偶函数，偶函数图像关于y轴对称

奇函数：定义域内的任意一个 x，都有 f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称

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总结：

函数：f(x) = ax^2 + bx + c

函数法则 f：对自变量的作用
定义域A：自变量x的取值范围
值域B：函数值的取值范围

函数定义：取定义域内的任何一个 x，根据函数法则 f，都能在值域内得到唯一的函数值 f(x)

单调性：

单调增：在区间D内任取 x1 < x2，都有 f(x1) < f(x2)
单调减：在区间D内任取 x1 < x2，都有 f(x1) > f(x2)
单调区间：D

奇偶性：

偶函数：f(-x) = f(x)，图像关于 y 轴对称
奇函数：f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称