2019-05-01

滚降设计
- 若是LPF，时域 $x(t)$ 的拖尾按 $\frac{1}{t}$ 衰减，意味着对抽样时钟信号的准确度要求很高。
- 频域 $X(f)$ 是边缘锐降的理想LPF，不可实现。
- 解决途径：以牺牲频带为代价，改锐降为滚降
频谱滚降
- 改锐降为滚降
  - $W_1 = \frac{1}{2T_s}$
  - 与奈奎斯特极限带宽 $W_1$ 相比，因滚降而多花费的带宽的比例叫滚降因子或滚降系数： $\alpha = \frac{W_2}{W_1}$
  - 滚降系数为0就是奈奎斯特极限
  - 滚降后的带宽是 $W_1(1+\alpha) = \frac{1+\alpha}{2T_s} = (1+\alpha)\frac{R_s}{2}$ ，频带利用率是 $\frac{2}{1+\alpha}Baud/Hz$
直线滚降
- 宽度为A和B的两个矩形卷积后是梯形，梯形的顶宽是 $|A-B|$ ,底宽是 $|A+B|$
- 直线滚降是两个矩形的卷积，一个宽度是 $2W_1 = \frac{1}{T_s}$ ，另一个宽度是 $2W_2 = 2\alpha W_1$ 。卷积后的梯形的顶宽是 $2(W_1-W_2) = 2(1-\alpha)W_1$ ，底宽是 $2(W_1+W_2) = 2(1+\alpha)W_1$ 。频域卷积对应时域乘积，直线滚降的总体冲激响应是 $x(t) = sinc(2W_1t)sinc(2W_2t) = sinc(\frac{t}{T_s})sinc(\frac{\alpha t}{T_s}) = T_s^2 \frac{sin(\frac{\pi t}{T_s})sin(\frac{\alpha\pi t}{T_s})}{\pi^2t^2}$
- $x(t)$ 按 $\frac{1}{t^2}$ 衰减
升余弦滚降
- 实际中最常用的是升余弦滚降，其滚降部分的形状是升起的余弦（取余弦的半个周期后升起），滚降系数是 $\alpha = \frac{W_2}{W_1},W_1 =\frac{1}{2T_s}$
升余弦滚降的总体传递函数
- - $\alpha = 0$ 理想低通LPF
  - $\alpha = 1$ ， $X(f) = \begin{cases}\frac{T_s}{2}[1+cos\pi f T_s],|f| \leq \frac{1}{T_s}\\0,|f|> \frac{1}{T_s} \end{cases}$
  - $x(t) = sinc(\frac {t}{T_s})\cdot \frac{cos(\frac {\alpha \pi t}{T_s})}{1-4\alpha^2 (\frac{t}{T_s})^2}$ . $x(t)$ 按照 $\frac{1}{t^3}$ 衰减.
  - $\alpha = 1$ ， $x(t) = sinc(\frac {t}{T_s})\cdot \frac{cos(\frac {\pi t}{T_s})}{1-4(\frac{t}{T_s})^2}$
  - - 滚降系数介于0到1之间， $\alpha$ 越小，波形震荡起伏越大，传输频带扩展小，反之，波形震荡起伏越小，频带扩展增大。
$\alpha$ 越大，则衰减越快，带宽越大，滚降越缓，实现难度越小
$\alpha$ 越小，则衰减越慢，带宽越小，滚降越陡，实现难度越大
升余弦滚降应用
- WCDMA参数
  - 码片成形的滚降因子0.22
  - 码片速率3.84MChips/s
  - 信道带宽5MHz
- TD-CDMA
  - 码片成形的滚降因子0.22
  - 码片速率4.096MChips/s
带宽的计算
- 拟用二进制方式在基带信道中传送10Mbps信号，给出以下带宽
  - 最小Nyquist带宽： $W = \frac{R_s}{2}$
  - 采用 $\alpha = 0.25$ 升余弦滚降的带宽： $W = \frac{R_s}{2}(1+\alpha)$
  - 采用manchester码的主瓣带宽： $\tau = \frac{T_s}{2} = \frac{1}{2R_s}$
  - 采用NRZ码的主瓣带宽： $\tau = T_s = \frac{1}{R_s}$
  - 采用半占空的RZ码的主瓣带宽： $\tau = \frac{T_s}{2} = \frac{1}{2R_s}$

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2019-05-01

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