二阶线性微分方程类型简析——by Tangwei

      我们在研究热传导、流体流动或波动问题的时候，经常会遇到各种形式的微分方程。比如像无源的二维空间的二阶热传导方程：

我们把这种方程叫做椭圆型偏微分方程。还存在所谓的抛物型和双曲型的方程，那么如何判断什么样的形式是属于某种类型的方程呢？研究它们的类型有何用呢？

      比如在计算流体力学方面，不同的数学方程有不同的解，即使同一个方程，在不同的流动区域，它的解却是完全不一样的。这种不同是由解的数学性质决定的。因此研究这些不同方程自身的数学性质，对其解的求出，以及在不同流动区域所表现出的特点，具有很大的作用。

      我们以双变量的二阶线性微分方程作为例子来探讨一下。这种方程我们有以下通式：

其中A、B、C、D、E、F、G全都是x,y的函数（也可以是常数），不含u。若G≠0，则方程是非齐次的；若G=0则方程是齐次的。这里规定

其实这个方程的系数可以组成一个对称矩阵，还将可以化成标准型，以下会讲到。

方程类型的分类是通过Δ=(2B)^2-4AC与0的关系来判定，上面讲到方程是可以化成标准型的：

1、当Δ＞0时，为双曲型方程，它具有如下的形式：

2、当Δ=0时，为抛物型方程，它具有如下的形式：

3、当Δ＜0时，为抛物型方程，它具有如下的形式：

我们利用以下的变量变换，来简化方程：

这里要求上述的方程组雅克比行列式J≠0，则可以使得逆变换存在。即：

为什么要这样的条件呢？我们来看看。对（2），（3）式分别求全微分

（5）、（6）式可以用下面线性方程组的形式表示：

我们把上式（7）左边第一项矩阵记为M，右边列向量记为N。

根据克莱默法则：

用N替换M的第一列，所得矩阵记为Px。

则用给出dx=| Px|/| M|

用N替换M的第二列，所得矩阵记为Py。

dy=| Py|/ | M|

所以要使得dx,dy有解，则需要分母|M|≠0。

也就是上面所讲的雅克比行列式J≠0.这样dx，dy有解，则就存在逆变换。

为了把（1）式化成 u(ξ,η) 形式，我们对u(x,y) 求全微分，再利用（2）、（3）式：

把上述五个方程带入（1）式，就可得到：

至此，我们就得到了变换后，以ξ和η作为自变量的方程，其中：

从上面的方程我们可以看出，a和c的形式相同，因此呢我们就用Q来记ξ和η两个符号，对于a和c两个方程，就有以下这种形式：

因为（9）中存在平方的项，所以有两个特解，并且有两个常数解，也就是：

Q(x,y)=λ，λ为常数            （10）

上面我们说Q代替ξ和"η"，也就是说ξ和"η"是（9）的解，它们就是常数，即：

这个时候a=c=0，此时（8）式就被化简为更简单的方程。

（10）式中，把y看做是x的函数（这是可以的，y与x是存在关系的，可以从参数函数得到），那么对于这样的隐函数，求导得到了：

把（9）两边同时除以

再把（11）带入，得到：

（12）就是二阶线性偏微分方程的特征方程。曲线

就被称为方程（1）的特征线。

特征方程有两个根：

正如前面所讲的Δ=(2B)^2-4AC与0的关系，即B^2-AC与0的关系来讨论方程的类型：

1、当Δ＞0时，有两个特征线：

ξ(x,y) =λ1

η(x,y) =λ2

这两个函数是（9）的解，所以a=c=0，此时（8）被化为：

这个时候我们可以看到了，就是之前所讲的那种双曲方程的标准式。

2、当Δ=0时，

此时（9）被化为：

我们把Q用ξ代替，就有

所以（2）（3）方程若采用这种关系来做变量变换，那么就会使得a=0，

"η"这时可以取与"ξ"线性无关的任意函数。不难计算，这个时候b的值也等于0.

于是，（8）就变为：

这也正是前面讲到的抛物型方程的标准形式。

3、当Δ＜0时，

此时特征方程（12）的跟不是实数，而是虚数。我们令它的根为复变函数：

Φ(x,y)=Φ1(x,y)+i Φ2(x,y)

把这个根带入到（9）中，得到：

将Φ(x,y)=Φ1(x,y)+i Φ2(x,y) 带入求偏导数，因为对于定义域内任意x,y都满足（13），即要求实部和虚部都等于0才能成立。

所以实部得到:

对于虚部：

如果我们取这样的变换：

ξ=Φ1(x,y)

η=Φ2(x,y)

那么，a=c,b=0

这时，我们就看到了（8）式变为：

这就是前述的椭圆型方程。

至此，我们通过Δ=B^2-AC对特征函数根的判断，简析了二阶微分方程的类型和其判断。