线性代数-行列式

【义】1.3 由自然数1, 2, …, n组成的不重复的有确定次序的排列, 称为一个n级全排列( 简称为n级排列)
【义】1.4 在一个n级排列( j1 j2 …jt …js …jn ) 中, 若数jt >js , 则称数jt 与js 构成一个逆序. 一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数, 记为τ( j1 j2 …jn )
【义】1.5 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
【理】1.1 任意一个排列经过一次对换后, 改变其奇偶性


n阶行列式展开式.png

行列式的性质

【性】1 行列式与它的转置列式相等, 即D=DT
【性】2 互换行列式的两行(列), 行列式改变符号.


证明

【推】1.3 如果行列式有两行( 列) 相对应的元素相等, 则此行列式等于零.
   => 交换相等的这两行,则行列式改变符号,D=-D,又因为D=D,所以D=0
【性】3 行列式的某一行( 列) 中所有元素都乘以同一数k, 等于用数k乘以此行列式
【推】1.4 行列式中某一行( 列) 的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
【推】1.5 行列式中如果有两行( 列) 元素对应成比例, 则此行列式等于零.
   => 提出这一行的k,则成比例的两行相等,所以行列式等于0
【性】5 把行列式的某一行(列) 的元素乘以同一数k, 然后加到另一行( 列) 对应的元素上去, 行列式的值不变

行列式按行(列)展开

【义】1.9 在n阶行列式D中, 去掉元素aij 所在的第i行和第j列后, 余下的元素按原来的次序构成的n-1阶行列式, 称为D中元素aij 的余子式, 记为Mij , 再记


代数余子式

称Aij 为元素aij 的代数余子式
【引】设n阶行列式D中的第i行元素除aij 外全部为零, 则这行列式等于aij 与它的代数余子式的乘积
【理】1.3 行列式D等于它的任一行( 列) 的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和



【推】1.6 行列式D中任一行( 列) 的元素与另一行( 列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零

行列式的应用

【理】1.4 如果线性方程组( 1.8) 的系数行列式D≠0, 则方程组( 1.8) 有唯一解


克拉默法则

其中, Dj ( j=1, 2, …, n) 是把系数行列式D中第j列元素a1j , a2j , …, anj 对应地换为方程组右端常数项b1 , b2 , …, bn 后得到的n阶行列式
【理】1.5 如果齐次线性方程组( 1.9) 的系数行列式D≠0, 则齐次线性方程组( 1.9) 只有唯一的零解.
【推】1.7 如果齐次线性方程组( 1.9) 有非零解, 则齐次线性方程组( 1.9) 的系数行列式必为零

矩阵的秩

【义】2.16 设A是m×n矩阵, 则从A中选定k行k列(1≤k≤min(m, n)) , 位于这些行和列交叉处的k2 个元素按原来的相对位置组成一个k阶行列式, 称为矩阵A的k阶子式
【义】2.17 设A矩阵的最高阶非零子式的阶数称为矩阵A的秩, 记为r(A)

  1. 约定零矩阵的秩为0
  2. A是m×n矩阵, 则r(A) ≤m, r(A) ≤n
  3. 若r(A)= r的充分必要条件是矩阵A至少有一个r阶子式不等于0, 而所有r+1阶子式(如果存在) 全为0
  4. 当r(A)= n时, 则∣A∣≠0

【理】2.4 初等变换不改变矩阵的秩
下面给出矩阵秩的一些性质:

  1. r( AT ) =r( A)
  2. 若A≅B, 则r(A)=r( B)
  3. 若A可逆, 则r(AB)=r(BA) =r(B)
  4. r(A+B) ≤r(A) +r(B)
  5. A是m×n矩阵, B是n×s矩阵, 则r(A)+r(B)-n ≤ r(AB) ≤min(r(A), r(B))
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