标准迭代范式
[回溯算法] 五大常用算法之回溯法
本文转自2018年02月12日
算法入门6：回溯法
一. 回溯法 – 深度优先搜素
1. 简单概述
回溯法思路的简单描述是：把问题的解空间转化成了图或者树的结构表示，然后使用深度优先搜索策略进行遍历，遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解。
基本思想类同于：
图的深度优先搜索
-
二叉树的后序遍历
分支限界法：广度优先搜索 思想类同于：图的广度优先遍历 二叉树的层序遍历
2. 详细描述
详细的描述则为：
回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
回溯法的基本行为是搜索，搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类：1\. 使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径；2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。
问题的关键在于如何定义问题的解空间，转化成树（即解空间树）。解空间树分为两种：子集树和排列树。两种在算法结构和思路上大体相同。
3. 回溯法应用
当问题是要求满足某种性质（约束条件）的所有解或最优解时，往往使用回溯法。
它有“通用解题法”之美誉。
二. 回溯法实现 - 递归和递推（迭代）
回溯法的实现方法有两种：递归和递推（也称迭代）。一般来说，一个问题两种方法都可以实现，只是在算法效率和设计复杂度上有区别。
【类比于图深度遍历的递归实现和非递归（递推）实现】
1. 递归
思路简单，设计容易，但效率低，其设计范式如下：
1. //针对N叉树的递归回溯方法
2. void backtrack (int t)
3. {
4. if (t>n) output(x); //叶子节点，输出结果，x是可行解
5. else
6. for i = 1 to k//当前节点的所有子节点
7. {
8. x[t]=value(i); //每个子节点的值赋值给x
9. //满足约束条件和限界条件
10. if (constraint(t)&&bound(t))
11. backtrack(t+1); //递归下一层
12. }
13. }
2. 递推
算法设计相对复杂，但效率高。
- //针对N叉树的迭代回溯方法
- void iterativeBacktrack ()
- {
- int t=1;
- while (t>0) {
- if(ExistSubNode(t)) //当前节点的存在子节点
- {
- for i = 1 to k //遍历当前节点的所有子节点
- {
- x[t]=value(i);//每个子节点的值赋值给x
- if (constraint(t)&&bound(t))//满足约束条件和限界条件
- {
- //solution表示在节点t处得到了一个解
- if (solution(t)) output(x);//得到问题的一个可行解，输出
- else t++;//没有得到解，继续向下搜索
- }
- }
- }
- else //不存在子节点，返回上一层
- {
- t--;
- }
- }
- }
三. 子集树和排列树
1. 子集树
所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间成为子集树。
如0-1背包问题，从所给重量、价值不同的物品中挑选几个物品放入背包，使得在满足背包不超重的情况下，背包内物品价值最大。它的解空间就是一个典型的子集树。
回溯法搜索子集树的算法范式如下：
[cpp] view plain copy
- void backtrack (int t)
- {
- if (t>n) output(x);
- else
- for (int i=0;i<=1;i++) {
- x[t]=i;
- if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);
- }
- }
2. 排列树
所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间就是排列树。
如旅行售货员问题，一个售货员把几个城市旅行一遍，要求走的路程最小。它的解就是几个城市的排列，解空间就是排列树。
回溯法搜索排列树的算法范式如下：
[cpp] view plain copy
- void backtrack (int t)
- {
- if (t>n) output(x);
- else
- for (int i=t;i<=n;i++) {
- swap(x[t], x[i]);
- if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);
- swap(x[t], x[i]);
- }
- }
四. 经典问题
（1）装载问题
（2）0-1背包问题
（3）旅行售货员问题
（4）八皇后问题
（5）迷宫问题
（6）图的m着色问题
1. 0-1背包问题
问题：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
分析：问题是n个物品中选择部分物品，可知，问题的解空间是子集树。比如物品数目n=3时，其解空间树如下图，边为1代表选择该物品，边为0代表不选择该物品。使用x[i]表示物品i是否放入背包，x[i]=0表示不放，x[i]=1表示放入。回溯搜索过程，如果来到了叶子节点，表示一条搜索路径结束，如果该路径上存在更优的解，则保存下来。如果不是叶子节点，是中点的节点（如B），就遍历其子节点（D和E），如果子节点满足剪枝条件，就继续回溯搜索子节点。
[图片上传失败...(image-a1757f-1552436966753)]
代码：
[cpp] view plain copy
-
include <stdio.h>
-
define N 3 //物品的数量
-
define C 16 //背包的容量
int w[N]={10,8,5}; //每个物品的重量
int v[N]={5,4,1}; //每个物品的价值
int x[N]={0,0,0}; //x[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入
int CurWeight = 0; //当前放入背包的物品总重量
int CurValue = 0; //当前放入背包的物品总价值
int BestValue = 0; //最优值；当前的最大价值，初始化为0
int BestX[N]; //最优解；BestX[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入
//t = 0 to N-1
void backtrack(int t)
{
//叶子节点，输出结果
if(t>N-1)
{
//如果找到了一个更优的解
if(CurValue>BestValue)
{
//保存更优的值和解
BestValue = CurValue;
for(int i=0;i<N;++i) BestX[i] = x[i];
}
}
else
{
//遍历当前节点的子节点：0 不放入背包，1放入背包
for(int i=0;i<=1;++i)
{
x[t]=i;
if(i==0) //不放入背包
{
backtrack(t+1);
}
else //放入背包
{
//约束条件：放的下
if((CurWeight+w[t])<=C)
{
CurWeight += w[t];
CurValue += v[t];
backtrack(t+1);
CurWeight -= w[t];
CurValue -= v[t];
}
}
}
//PS:上述代码为了更符合递归回溯的范式，并不够简洁
}
}
int main(int argc, char* argv[])
{
backtrack(0);
printf("最优值：%d\n",BestValue);
for(int i=0;i<N;i++)
{
printf("最优解：%-3d",BestX[i]);
}
return 0;
}
2. 旅行售货员问题
[回溯法----旅行售货员问题](http://blog.csdn.net/jarvischu/article/details/6058931)
3. 详细描述N皇后问题
问题：在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。
N皇后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。
分析：从n×n个格子中选择n个格子摆放皇后。可见解空间树为子集树。
使用Board[N][N]来表示棋盘，Board[i][j]=0 表示(I,j)位置为空，Board[i][j]=1 表示(I,j)位置摆放有一个皇后。
全局变量way表示总共的摆放方法数目。
使用Queen(t)来摆放第t个皇后。Queen(t) 函数符合子集树时的递归回溯范式。当t>N时，说明所有皇后都已经摆 放完成，这是一个可行的摆放方法，输出结果；否则，遍历棋盘，找皇后t所有可行的摆放位置，Feasible(i,j) 判断皇后t能否摆放在位置(i,j)处，如果可以摆放则继续递归摆放皇后t+1，如果不能摆放，则判断下一个位置。
Feasible(row,col)函数首先判断位置(row,col)是否合法，继而判断(row,col)处是否已有皇后，有则冲突，返回0，无则继续判断行、列、斜方向是否冲突。斜方向分为左上角、左下角、右上角、右下角四个方向，每次从（row,col）向四个方向延伸一个格子，判断是否冲突。如果所有方向都没有冲突，则返回1，表示此位置可以摆放一个皇后。
[图片上传失败...(image-d4906e-1552436966752)]
代码：
1. /************************************************************************
2. * 名 称：NQueen.cpp
3. * 功 能：回溯算法实例：N皇后问题
4. * 作 者：JarvisChu
5. * 时 间：2013-11-13
6. ************************************************************************/
8. #include <stdio.h>
10. #define N 8
12. int Board[N][N];//棋盘 0表示空白 1表示有皇后
13. int way;//摆放的方法数
16. //判断能否在(x,y)的位置摆放一个皇后；0不可以，1可以
17. int Feasible(int row,int col)
18. {
19. //位置不合法
20. if(row>N || row<0 || col >N || col<0)
21. return 0;
23. //该位置已经有皇后了，不能
24. if(Board[row][col] != 0)
25. { //在行列冲突判断中也包含了该判断，单独提出来为了提高效率
26. return 0;
27. }
29. //////////////////////////////////////////////////
30. //下面判断是否和已有的冲突
32. //行和列是否冲突
33. for(int i=0;i<N;++i)
34. {
35. if(Board[row][i] != 0 || Board[i][col]!=0)
36. return 0;
37. }
39. //斜线方向冲突
41. for(int i=1;i<N;++i)
42. {
43. /* i表示从当前点(row,col)向四个斜方向扩展的长度
45. 左上角 \ / 右上角 i=2
46. \/ i=1
47. /\ i=1
48. 左下角 / \ 右下角 i=2
49. */
50. //左上角
51. if((row-i)>=0 && (col-i)>=0) //位置合法
52. {
53. if(Board[row-i][col-i] != 0)//此处已有皇后，冲突
54. return 0;
55. }
57. //左下角
58. if((row+i)<N && (col-i)>=0)
59. {
60. if(Board[row+i][col-i] != 0)
61. return 0;
62. }
64. //右上角
65. if((row-i)>=0 && (col+i)<N)
66. {
67. if(Board[row-i][col+i] != 0)
68. return 0;
69. }
71. //右下角
72. if((row+i)<N && (col+i)<N)
73. {
74. if(Board[row+i][col+i] != 0)
75. return 0;
76. }
77. }
79. return 1; //不会发生冲突，返回1
80. }
83. //摆放第t个皇后 ；从1开始
84. void Queen(int t)
85. {
86. //摆放完成，输出结果
87. if(t>N)
88. {
89. way++;
90. /*如果N较大，输出结果会很慢；N较小时，可以用下面代码输出结果
91. for(int i=0;i<N;++i){
92. for(int j=0;j<N;++j)
93. printf("%-3d",Board[i][j]);
94. printf("\n");
95. }
96. printf("\n------------------------\n\n");
97. */
98. }
99. else
100. {
101. for(int i=0;i<N;++i)
102. {
103. for(int j=0;j<N;++j)
104. {
105. //（i,j）位置可以摆放皇后，不冲突
106. if(Feasible(i,j))
107. {
108. Board[i][j] = 1; //摆放皇后t
109. Queen(t+1); //递归摆放皇后t+1
110. Board[i][j] = 0; //恢复
111. }
112. }
113. }
114. }
115. }
117. //返回num的阶乘,num!
118. int factorial(int num)
119. {
120. if(num==0 || num==1)
121. return 1;
122. return num*factorial(num-1);
123. }
126. int main(int argc, char* argv[])
127. {
128. //初始化
129. for(int i=0;i<N;++i)
130. {
131. for(int j=0;j<N;++j)
132. {
133. Board[i][j]=0;
134. }
135. }
137. way = 0;
139. Queen(1); //从第1个皇后开始摆放
141. //如果每个皇后都不同
142. printf("考虑每个皇后都不同，摆放方法：%d\n",way);//N=8时, way=3709440 种
144. //如果每个皇后都一样，那么需要除以 N！出去重复的答案（因为相同，则每个皇后可任意调换位置）
145. printf("考虑每个皇后都不同，摆放方法：%d\n",way/factorial(N));//N=8时, way=3709440/8! = 92种
147. return 0;
148. }
PS：该问题还有更优的解法。充分利用问题隐藏的约束条件：每个皇后必然在不同的行(列)，每个行(列)必然也只有一个皇后。这样我们就可以把N个皇后放到N个行中，使用Pos[i]表示皇后i在i行中的位置（也就是列号）（i = 0 to N-1）。这样代码会大大的简洁，因为节点的子节点数目会减少，判断冲突也更简单。
4. 迷宫问题
问题：给定一个迷宫，找到从入口到出口的所有可行路径，并给出其中最短的路径
分析：用二维数组来表示迷宫，则走迷宫问题用回溯法解决的的思想类似于图的深度遍历。从入口开始，选择下一个可以走的位置，如果位置可走，则继续往前，如果位置不可走，则返回上一个位置，重新选择另一个位置作为下一步位置。
N表示迷宫的大小，使用Maze[N][N]表示迷宫，值为0表示通道（可走），值为1表示不可走（墙或者已走过）；
Point结构体用来记录路径中每一步的坐标(x,y)
(ENTER_X,ENTER_Y) 是迷宫入口的坐标
(EXIT_X, EXIT _Y) 是迷宫出口的坐标
Path容器用来存放一条从入口到出口的通路路径
BestPath用来存放所有路径中最短的那条路径
Maze()函数用来递归走迷宫，具体步骤为：
1\. 首先将当前点加入路径，并设置为已走
2\. 判断当前点是否为出口，是则输出路径，保存结果；跳转到4
3\. 依次判断当前点的上、下、左、右四个点是否可走，如果可走则递归走该点
4\. 当前点推出路径，设置[为可]
PS：用WPF实现了一个简单的图形化迷宫程序。白色表示通道，红色表示墙，最短的路径用黄色显示。目前实现了一个10*10的迷宫自动搜素最短通路，右侧显示搜索过程中得到的每一个可行通路。
由于构造一个迷宫比较复杂，所以暂时“迷宫设置”功能没有做实现，至于手动一步步查看搜素过程的动画也没有做实现。
