松约束和紧约束是针对不等式约束而言的，如果在一个解中，不等式约束左端项的值和右端项的值相等，那么它就是一个紧约束；反之，则是一个松约束。

在运筹学的问题建模与求解中，约束的放松收紧是调节可行域的重要手段。

在CPLEX求解问题后，我们有时候想要知道在得到的解中，哪些约束是紧约束，哪些约束是松约束。

下面我们就用一个例子来看一下如何在CPLEX中查看对某个解，某个约束是否是紧约束。

问题描述

这里用清华大学出版社的运筹学第四版第106页的运输问题举个例子：

某公司有三个加工厂，生产同一种产品。它的主要销售地有4个，从每个工厂出发，到销售地的单位运价如下表所示，单位为元/吨：

而三个工厂的每日产量分别为50，60，50吨。每个销售地的每日最小需求量为30，70，0，10吨；每日最大需求量为50，70，30，不限。

求出总运费最节省的产品运输方案。

模型

# 导入包
from docplex.mp.model import Model
import numpy as np

# 创建数据
n_factory: int = 3
n_market: int = 4
I: list = list(range(n_factory)) # 工厂下标的集合
J: list = list(range(n_market)) # 销售地下标的集合
bigM: int = 1000 # 大M
# 设置单位运费
cost_mat = [[16, 13, 22, 17],
            [14, 13, 19, 15],
            [19, 20, 23, bigM]]
min_demand: list = [30, 70, 0, 10] # 最小需求
max_demand: list = [50, 70, 30, bigM] # 最大需求
supply: list = [50, 60, 50] # 工厂的每日产量
  
# 建立模型
mdl = Model("Transportation Problem", cts_by_name = True)
x = mdl.continuous_var_dict([(i, j) for i in I for j in J], name = "volume")

# 设定目标函数 - 总的运送成本最低
mdl.minimize(mdl.sum(cost_mat[i][j] * x[(i, j)] for i in I for j in J))

# 添加约束
# 1. 所有工厂产量都要运送出去
mdl.add_constraints((mdl.sum(x[(i,j)] for j in J) == supply[i] for i in I), names="SupplyAmountConstraint")
# 2. 每个销售地得到的总量介于最小需求和最大需求之间
mdl.add_constraints((mdl.sum(x[(i,j)] for i in I) <= max_demand[j] for j in J), names="MaxDemandConstraint")
mdl.add_constraints((mdl.sum(x[(i,j)] for i in I) >= min_demand[j] for j in J), names="MinDemandConstraint")

# 求解
sol = mdl.solve()

# 输出结果
print(sol.as_df())

可以得到这个问题的解：

         name  value
0  volume_0_1   50.0
1  volume_1_1   20.0
2  volume_1_3   40.0
3  volume_2_0   50.0

也就是说，工厂A1运送到销售地B2的量为50吨，工厂A2运送到销售地B2的量为20吨，运送到销售地B3的量为40吨，工厂A3运送到销售地B1的量为50吨时，总运输费用最低。

查看紧约束

在CPLEX中并没有原生函数能帮我们查看一个约束是紧约束还是松约束，这里我们可以间接实现松紧约束的判断：

对每个不等式约束的左端项和右端项进行求值，然后判定是否相等。

如果相等，则为紧约束，否则为松约束。

from docplex.mp.constants import ComparisonType
# 查看哪些约束是紧约束
tol: float = 1e-5
for ct in mdl.iter_constraints():
    # 跳过等式约束
    if ct.sense == ComparisonType.EQ:
        continue
    print("-----------------")
    print("约束名: {}".format(ct.name))
    lhs: float = sol.get_value(ct.get_left_expr())
    rhs: float = sol.get_value(ct.get_right_expr())
    print("左端项: {}".format(lhs))
    print("右端项: {}".format(rhs))
    if abs(lhs - rhs) < tol:
        print("紧约束")
    else:
        print("松约束")

得到如下结果，可以看到我们只保留了不等式约束，其中

-----------------
约束名: MaxDemandConstraint1
左端项: 50.0
右端项: 50
紧约束
-----------------
约束名: MaxDemandConstraint2
左端项: 70.0
右端项: 70
紧约束
-----------------
约束名: MaxDemandConstraint3
左端项: 0
右端项: 30
松约束
-----------------
约束名: MaxDemandConstraint4
左端项: 40.0
右端项: 1000
松约束
-----------------
约束名: MinDemandConstraint1
左端项: 50.0
右端项: 30
松约束
-----------------
约束名: MinDemandConstraint2
左端项: 70.0
右端项: 70
紧约束
-----------------
约束名: MinDemandConstraint3
左端项: 0
右端项: 0
紧约束
-----------------
约束名: MinDemandConstraint4
左端项: 40.0
右端项: 10
松约束