理解“规定”的合理性
——《小学数学这样教》读书笔记4
《小学数学这样教》读书笔记2中记录了教师要依据数学知识的不同属性，来确定具体的“教学方式”。比如：规律性知识更适合采用探究式的教学方式；规则性知识则有待于孩子去“发明”，经经历自主创造的过程，让孩子感悟到“知识是因需要而产生的”； 规定性知识就采用接受性的学习方式，当然，要让孩子明白这些规定的历史随机性以及规定的合理性。不过，有些规定的道理随着时间的久远而被人们渐渐遗忘，教材上更多的是呈现“冷冰冰”的规定，没有展现出当时“火热的思考”。因此，教师有必要展现这种思考，让孩子更好的理解“规定”背后的道理。在小学数学中，有三条我们特别熟悉的结论：
1. 除数不能为“0”；
2. 余数要比除数小；
3. “1”既不是质数，也不是合数。可是，这是为什么呢？
一，除数不能为“0”。
在除法中“除数不能为0”这句话,孩子们耳熟能详。但是如果老师追问：“为什么除数不能为0？”能回答出来的孩子则很少。孩子们大多答道，这是规定。可是，为什么要规定除数不能为0呢？这个问题，用不确定性和不唯一存在性可以很好的回答这个问题。假设求“ 5÷0等于几”。根据除法和乘法之间的关系，我们可以得到下列推断：因为0乘以任何数都等于0，不可能等于5，所以5÷0的结果不存在，不确定。既然不确定，就没有研究的必要。那么0除以0等于几呢？同样根据除法和乘法之间的关系，我们可以得到因为0乘以任何数都等于0，所以0÷0的结果有很多，商是不唯一，不确定的。这在数学的推理中是不允许你的。数学中对于运算通常有两个要求，第一是运算结果要存在，第二是运算结果要唯一确定。除数为0的时候，存在不唯一与不确定情形。因此，数学上规定——“除数不能为0。”（由此可以得知，“除数不能为0”这一规定最主要的原因是为了保证运算结果的唯一确定。）
二，余数要比除数小。
在“有余数的除法”这一课程内容中，特别强调“余数要比除数小”，这是一种人为的规定。实际教学中，把7个苹果分给2个小朋友，每人分1个，还剩5个；既然还可以继续分，就必须分完来。这个解释有一定的合理性，但是，现实生活中，也大量存在没分完的情形呀。因此，这个解释并不具备数学逻辑意义上的说服力。
除法计算的正确性，可以用乘法来检验。比如要判断等式7÷2=3……1是否正确，可以用2×3+1=7来检验正确。这样的检验情形如下图：
像这样运算结果不确定的情况，就会带来麻烦，假如没有“余数要比除数小”这个规定，则不能保证运算结果的唯一性。
三，“1”既不是质数，也不是合数。
质数与合数的概念历史悠久。古代希腊人认为所有的事物都被一些最细微的，小的不能再小的东西制约着。这种观点用于数的认识就是“100可以分为5×5×2×2”，这个时候的5与2就不能再分了，被认为是制约“100”的最微小元素，命名为“起始的数”，清代写者李善兰翻译成为“数根”，后来改为“素数”或“质数”。
因此，最开始，人们最初的想法是把自然数分为两类，一类是不能再分的数（质数），一类可以再分的数（合数）。由此可以得知，1在当时应该是“质数”。
后来，由于“分解质因数”的需要，作为推理的基础，要求这个分解的形式要唯一确定。这个时候就发现：“100可以分为5×5×2×2”，也可以“分为5×5×2×2×1”或者“5×5×2×2×1×……×1”，没有唯一性了。数学家发现如果数字“1”不作为质数，则这个唯一确定性就存在了。因此，规定：“1”不是质数，进而得到——“1”既不是质数，也不是合数。
本书作者郜舒竹教授指出：数学教学不仅要让孩子“知其然”，还要“知其所以然”。“所以然”的知识往往具有历史性、贯通性、综合性和人文性,是需要教师个体通过努力学习和研究并潜移默化输给学生。因此,建议数学教师应重视 “所以然”知识的研究，多多阅读相关的数学书籍。
