高中数学之纲：如何列方程？

方程与函数的思想，被认为是高中数学中最重要，用得最多的思想。

用方程解决问题，第一步当然是要列出方程。列方程的关键在于：要找到这样一个中介量，它能够把两个不同的对象联系起来；或者找到一个守恒量，它的值在一个变化过程中保持不变。

我们可以打个比方：方程就好比是一座拱桥。建造拱桥的关键是中央的拱心石；建立方程的关键则是找到这个中介量（或者不变量）。

如何寻找拱心石（中介量）？我们下面用一个高考真题来示范一下。

2015年理科数学全国卷二题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 中， $D$ 是 $BC$ 上的点， $AD$ 平分 $\angle BAC$ ， $\triangle ABD$ 面积是 $\triangle ADC$ 面积的 2 倍.

（I）求： $\displaystyle \frac{\sin \angle B}{\sin \angle C}$

（II） $AD=1, DC=\dfrac {\sqrt{2}} {2}$ , 求 $BD$ 和 $AC$ 的长.

【分析】

下面我们用“自问自答”的方式来展示分析过程。

$\boxed{\mathbb{Q}}$ 图中有哪几个三角形？
$\boxed{\mathbf{A}}$ 本题图中有3个三角形： $\triangle ABC, \triangle ABD, \triangle ADC.$

$\boxed{\mathbb{Q}}$ 这几个三角形间存在什么联系？
$\boxed{\mathbf{A}}$ 这里的3个三角形存在多方面的联系。

1）这3个三角形是共高的三角形。作 $AG\perp BC$ ， $G$ 为垂足，则： $S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}AG \cdot BC$ ； $S_{\triangle ABD}=\dfrac{1}{2}AG \cdot BD$ ; $S_{\triangle ADC}=\dfrac{1}{2}AG \cdot DC;$ 所以，这3个三角形的面积比可以化为边长之比： $S_{\triangle ABC}:S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ADC}=BC:BD:DC$

2）两个小三角形的面积之和等于大三角形面积： $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ADC}$

3） $\triangle ABD$ 与 $\triangle ADC$ 的联系： $AD$ 是两个三角形的公共边；两个三角形的顶角相等： $\angle BAD = \angle CAD$ ；两个角互补： $\angle ADB + \angle ADC = 180°$

4） $\triangle ABD$ 与 $\triangle ABC$ 的联系： $\angle A$ 是它们的公共角， $AB$ 是公共边；

5） $\triangle ADC$ 与 $\triangle ABC$ 的联系： $\angle C$ 是公共角， $AC$ 是公共边；

【第Ⅰ问解法一】

因为 $AD$ 平分 $\angle BAC$ ，所以 $\sin \angle BAD = \sin \angle CAD$

$\because S_{\triangle ABD}=2 S_{\triangle ACD}$

$\therefore AB \cdot AD \sin \cdot \angle BAD = 2 AC \cdot AD \cdot \sin \angle CAD$

$\therefore AB = 2 AC$

根据正弦定理可得： $\dfrac{\sin \angle B}{\sin \angle C} = \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{1}{2}$ .

【第Ⅰ问解法二】

根据角平分线的性质可知： $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{DC}{BD}$

又因为 $\triangle ABD$ 与 $\triangle ADC$ 是共高的三角形， $S_{\triangle ADC}=\dfrac{1}{2}AG \cdot DC$ ; $S_{\triangle ABD}=\dfrac{1}{2}AG \cdot BD$

$\therefore \dfrac{DC}{BD}= \dfrac{ S_{\triangle ADC} } {S_{\triangle ABD}} = \dfrac{1}{2}$

$\therefore \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{1}{2}$

根据正弦定理可得： $\dfrac{\sin B}{\sin C}= \dfrac{1}{2}$

【解第Ⅱ问】

在前面的分析中，我们已经得出结论： $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{DC}{BD}=\dfrac{1}{2}$

$DC=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow BD=2\,DC = \sqrt{2}$

这个题的关键在于 $AC$ . 经过前面的分析，我们实际上有多条思路可供选择。

以下介绍主要的几条思路，共同的出发点是：设 $AC=t$ .

$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow AB=2t$ .

『思路一』以互补的两个角为拱心石（中介量）。

$\because \angle ADB + \angle ADC = 180°$

$\therefore \cos \angle ADB + \cos \angle ADC = 0$

依据余弦定理可得方程：

$\dfrac{1+2-4t^2}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1+\dfrac{1}{2} -t^2}{\sqrt{2}}=0$

$3-4t^2+3-2t^2=0$

$\because t \gt 0, \therefore t=1.$

『思路二』把 $\angle BAD$ 和 $\angle CAD$ 作为拱心石.

因为 $AD$ 平分 $\angle BAC$ ，所以 $\cos \angle BAD = \cos \angle CAD$

依据余弦定理可得方程：

$\dfrac{4t^2+1 - 2}{2 \cdot 2t}=\dfrac{t^2+1-\dfrac{1}{2}}{2 \cdot t}$

由以上方程可得： $t=1$ .

『思路三』把 $\triangle ABD$ 与 $\triangle ABC$ 的公共角 $\angle B$ 作为拱心石.

依据余弦定理可得方程：

$\cos B =\dfrac{4t^2+(\dfrac{3\sqrt{2}}{2})^2-t^2}{2 \cdot 2t \cdot \dfrac{3\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{4t^2+2-1}{2 \cdot 2t \cdot \sqrt{2}}$

『思路四』把 $\triangle ADC$ 与 $\triangle ABC$ 的公共角 $\angle C$ 作为拱心石.
依据余弦定理可得方程：

$\cos C =\dfrac{4t^2+(\dfrac{3\sqrt{2}}{2})^2-t^2}{2 \cdot \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \cdot t}=\dfrac{t^2+\dfrac{1}{2}-1}{2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot t}$

【提炼与提高】

方程是一个很大的话题。为了列出方程，需要对问题进行具体分析。本题演示了一种分析问题的技巧：自问自答。

我们以一个具体的问题开局：图中有哪几个三角形（或者其他对象）？

这个问题很具体也很简单，而且经常是有效的。当然，也可以提出其他的问题。读者可以在解题过程中自己总结。

高中数学之纲：如何列方程？

2015年理科数学全国卷二题17（本题满分12分）

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