原题来自Google CodeJam 2017 Round C的第四题4M Corporation，大意如下：

给定四个正整数，求:
至少需要多少个数，才可以满足最小值为，最大值为，均值为，中位数为？
如果存在可行的解，给出最少需要的数的个数；如果不存在，则输出IMPOSSIBLE。

简单的无解情形

首先，我们可以简单地排除掉一些无解的情形：

这样，我们可以保证下式成立

简单的有解情形

在上面的条件下，我们很容易找到两种特殊情形：

1. ，此时，只需要一个数{}
2. ，此时，只需要两个数{}

一般情形

如果不满足上面的简单有解情形，我们至少需要3个数才有可能满足条件，也即

那么，接下来如何进行呢？

我们需要对一组数的、、、之间的关系进行更加深入的观察。
因为中位数在数的个数为奇数和偶数时有不同的表达形式，这启发我们对奇偶进行分别讨论。

奇数情形

先看奇数的情形。
我们把个数从小到大排列并求和，可以得到如下的关系式：

考虑大小关系，我们可以得到下面的不等式：

也即：

现在MIN、MAX、MEAN、MEDIAN都已知，这意味着我们可以直接求解这个关于的不等式，从而得到：

从而得到

我们把奇数情形下的解记为

注意，由于必定为正整数，当或时，不等式无解。

偶数情形

接下来，再考虑的情形，类似奇数的情形，我们可以得到：

进而得到不等式：

这里，为什么中间的两个数都设置为，而不是和，或者其他组合呢？
从上面的不等式，我们很容易看到，如果中间两个数设置成，则不等式左端会增大，而不等式右端会减小，这样就缩小了解的范围。

整理得到：

同样地，求解上面的不等式，我们可以得到：

不等式无解的条件与奇数情形一致。所以，或时，原问题无解（这里的前提是和时两种简单解均不成立）。

偶数情形下的解，我们记为

显然，最后的解，到这里，我们也就圆满地解决了上面的问题。

如果去掉题目中的正整数限制，这一解法同样成立。

思考

在上面解题的过程中，我们发现了或时会导致无解，那么反过来，我们就可以得到有解时，关于的不等式：

其中。

原问题有解，意味着这样的一组数是有可能存在的，而原问题无解，则说明这样的一组数不可能存在。这就意味着，我们得出的原问题有解的条件，应当是任意个满足的实数的固有性质。

下面我们从数学上证明和分别是的下确界和上确界。

我们还是分奇数和偶数两种情况来考虑这一问题。

奇数情形

令函数，其中

对求导，得到

因此单调递减。

接下来，我们需要求的极限，根据洛必达法则，易得。
由于

也就证明了就是的下确界。

同样，令

有

因此单调递增，并且。

由于

我们得到是的上确界。

偶数情形

证明方法同上。

总结

综合奇数和偶数的情形，我们也就证明了对于任意个数，当成立时，必然有

附：源程序

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

void solve(int case_num) {
  int MIN, MAX, MEAN, MEDIAN;
  int count{0};
  cin >> MIN >> MAX >> MEAN >> MEDIAN;

  // 简单的无解情形
  if (
    MIN > MAX ||
    MEAN > MAX ||
    MEAN < MIN ||
    MEDIAN > MAX ||
    MEDIAN < MIN
    ) {
    cout << "Case #" << case_num << ": " << "IMPOSSIBLE" << endl;
    return;
  }

  // 简单的有解情形
  if (MIN == MAX) count = 1;
  else if (MIN + MAX == 2 * MEAN && MEAN == MEDIAN) count = 2;
  else {
    // 不等式无解的情形
    if (2 * MEAN >= MEDIAN + MAX || 2 * MEAN <= MIN + MEDIAN) {
      cout << "Case #" << case_num << ": " << "IMPOSSIBLE" << endl;
      return;
    }

    // 偶数情形
    int left = ceil((double) (MAX - MIN) / (2 * MEAN - MIN - MEDIAN));
    int right = ceil((double) (MAX - MIN) / (MAX + MEDIAN - 2 * MEAN));
    int k = max(left, right);
    int even = 2 * k;

    // 奇数情形
    left = ceil((double) (MAX - MEAN) / (2 * MEAN - MIN - MEDIAN));
    right = ceil((double) (MEAN - MIN) / (MAX + MEDIAN - 2 * MEAN));
    k = max(left, right);
    int odd = 2 * k + 1;
    count = min(even, odd);
  }

  cout << "Case #" << case_num << ": " << count << endl;
}

int main() {
  int t;
  cin >> t;
  for (int i = 1; i <= t; ++i) {
    solve(i);
  }
  return 0;
}