6.证明：若函数)
在点
连续且%5Cneq0)
,则存在的某一邻域)
，当)
时，%5Cneq0)
。
解：不妨假设%3E0)
.函数在点连续，所以%3Df(x_0)%3E0)
。根据极限保号性，必然存在
,使得%3E0)
。当时，。即。
7.设%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20x%2Cx%5Cin%20Q%2C%20%5C%5C0%2Cx%5Cin%20Q%5Ec.%20%5Cend%7Bcases%7D)
证明：(1)在
连续；(2)在非零的
处都不连续。
证明：(1)根据极限的定义证明。对于任意的
,总存在
,为了说明方便，设
.当
时，-f(0)%7C%3D%7Cf(x)%7C%5Cleq%7Cx%7C%3C%5Cepsilon)
.故)
,即在处连续。
(2)证明在非零的 处都不连续。只要证明出极限值不等于函数值之类的就可以。同时请注意，下面的语言仅仅帮助大家理解。并非严格的证明。
假设非零的 处是有理数
,分别取一有理数列无限接近于
，则该数列的极限趋向于且并不等于0.而取一无理数列无限接近与于，则该数列的极限趋向于且等于0.所以极限不存在，也就不能连续了。
假设非零的 处是无理数,同理极限不存在。所以无法连续。
8.试举出具有以下性质的函数的例子：
是的所有间断点，且都是无穷间断点。
解：%3Dcot(x%5Cpi)%2Bcot(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7Bx%7D))
