这周的讨论班有点过瘾，很多内容被联系了起来，有思维上的突破的感觉。是follow了Stefano Negro 16年的讲义“Lectures on Integrable Structures in QFT and Massive ODE/IM correspondence”
这篇讲义是对BLZ系列工作的凝练。今天讲的内容对应了BLZ系列的第一篇。
受上周的启发：“能不能用“可积性的代数语言”来理解这些可积的deformation” 。讲义的一个核心也是，能不能用从可积spin chain那边发展来的代数语言来统一的看可积场论。用Stefano的原话就是“The expression integrable structures encompasses the whole algebraic skeleton which allows for the building of integrability to stand.”

2D CFT具有无穷多的对称性，这也为讨论可积结构提供了可能性。
通常我们研究CFT或者QFT的途径都是从表示论的观点出发，得到理论的谱的刻画，完全不需要提及可积结构。

CFT basic concepts : the quantum theory

在2D 欧式空间，我们可以引入复坐标，然后把空间解析延拓到C^2 上面，这样我们就有了作用在C^2上面的两个copies的Virasoro代数 Vir，研究Vir的表示，就可以得到理论的谱。要得到一个无穷维的abelian的子代数(无穷多対易的守恒量)，我们要扩展Vir到它的enveloping algebra上面u(Vir)。或者说，如果Vir看成是由energy momentum tensor T 得到的代数，那么u(Vir)就是由T还有求导算符一起构成的所有polynomial 得到的代数。在这个u(Vir)就存在了一个无穷维的abelian的子代数。这里我们用spin chain的思想，如果不考虑CFT的其他primary，只考虑identity module，那么u(Vir)就构成了一组local operator 的基，那么守恒量就可以由其展开，我们似乎也可以定义类似boost operator在operator在上面，这样我们就可以有一个守恒量，boost出其他的。值得注意的是，这些local operator的closed form 还没有得到，需要通过対易性还有其他的自洽性来得到或者说利用可能存在的boost operator。我们知道在spin chain里守恒量都是由一个生成函数也就是所谓的T-function得到的，这个T-function 不唯一，有他自己更高一级代数结构。所以我们的目的找到其CFT的对应。为了得到这个，我们先考虑CFT 的“经典”极限 kdV可积系统.

kdV basic concepts : the classical theory

kdV是2维的偏微分方程，也是可积性的数学出发点之一。在kdV上也可以定义守恒量，并且这个偏微分方程可以有Inverse scattering method求解。在CFT 的central charge c趋于负无穷就可以得到一个kdV 理论。如果把c理解为量子力学里面的-1/hbar，那么就可以把得到kdV看成CFT的经典极限。(又是一个CFT在central charge 很大的时候会有一个经典描述的例子。)CFT里面的対易子也对应了kdV的泊松括号。之前CFT里面构造出来的守恒量也就都对应到了kdV这边。任取一个守恒量作为Hamiltonian就可以得到一个kdV偏微分方程，这就是所谓的KdV hierarchy 。kdV是可积的，也存在一个含参数Lax equation描述，对应kdV 的 hierarchy自然有一个Lax equation 的flow hierarchy。每一个Lax equation都对应一个wave equation。因为这里Lax operator 是一个2阶导数的算符，那么wave equation就有两个解，考虑周期性边界条件，两个解可能存在non-trvial 的monodromy。Monodromy取trace 就得到了t-function，其在参数的无穷远的渐进展开记得到所有的守恒量，并且用Monodromy対易的Lax matrix 满足involution condition。这里我们只得到了一个t-function。是因为我们选取了一个特殊的Lax operator，既假定他是一个2阶微分算符。一个2阶算符等价于两个一阶算符，所以这个二阶Lax equation等价于2个一阶的equations，这样我们认为我们这里选取的Lax operator对应了一个2维表示。要拓展到高价，只需要找到Lax operator 满足的代数结构，然后选取高价的表示就可以了。而代数结构完全可以由基本1阶算符来看出来，是一个sl（2）这样一个代数。这样我们就可以直接用之前同样的方法，得到任何一个sl（2）表示下的t-function。

kdV to CFT： the quantization

首先我们要得到CFT对应的“Lax equation”，也就是在基本表示下 energy momentum T满足的类似于Lax equation的equation。这个基本表示称为Feigin-Fuchs free field representation，在central charge =1 的时候是描述另一个free boson，当c趋于负无穷的时候回到kdv的情况。然后找到Lax equation的代数结构，正好是u(sl(2))_q，sl（2）的 quantum enveloping algebra。(量子群的概念自然进来了。)接下里的推导和之前完全一致，最后得到了对应的T-function，并且Lax matrix自然满足Yang-Baxter equation。刚才我们提到，每一个不可约表示都对应了一个T-function，他们不是独立的，因为不可约表示直接会有一些branch rules。反应到T-function就是，不同表示对应的T-function满足一些等式，正好定义了Hirota system或者直接说是T-system！由T-system 出发我们当然可以定义Y-system，从而我们有TBA来求解Y-function的本征函数。

A Algebraic Skeleton

最后是一个general的逻辑，是不是可以称为“可积性”的逻辑？从表示论的角度我们定义一个理论为
Theory：{interactions of all kinds of particles} = {interwining of all the irrediciable representations}
下面我们看这个等号是怎么在可积系统里实现的。
考虑一个理论他的对称性是有的代数A来描述。那么他的谱或是粒子由A的不可约表示描述。但是只谱还不够，我们还要研究相互作用，所以我们把拓展A到A的quantum affine algebra 上，其上面的表示关系由T-function或者Y-function来描述。最后从local的性质回到global的，我们通过一个evaluation 映射从quantum affine algebra 回到物理的 quantum algebra 上，这里的evaluation不是唯一的自然引入了一个而外的连续的parameter。所以最后一个可积量子系统的实现就是依赖一个离散的parameter对应了quantum affine algebra的表示还有一个连续的parameter对应了evaluation map的一个表示。