问题模式
功能接口
template <typename T> struct PQ{
virtual void insert(T) = 0; //按照优先级次序插入词条
virtual T getMax() = 0; //取出优先级最高的词条
virtual T delMax() = 0; //删除优先级最高的词条
}; //与其说PQ是数据结构,不如说是ADT(Abstract Data Type);其不同的实现方式,效率及适用场合也各不相同
Stack和Queue,都是PQ的特例——优先级完全取决于元素的插入次序
基本实现——向量
有序向量
BBST
AVL、Splay、Red-black:三个接口均只需O(logn)时间
但是,BBST的功能远远超过了PQ的需求
PQ = 1 * insert() + 0.5 * search() + 0.5 * remove() = 2/3 * BBST
若只需查找极值元,则不必维护所有元素之间的全序关系,偏序足矣
因此存在某种更为简单、维护成本更低的实现方式,使得各功能接口时间复杂度依然为O(logn),而且实际效率更高
完全二叉树Complete Binary Tree
平衡因子处处非负的AVL
结构性
逻辑上,等同于完全二叉树
物理上,直接借助向量实现
逻辑节点与物理元素依层次遍历次序彼此对应
#define Parent(i) ((i-1)>>1)
#define LChild(i) (1+((i)<<1)) //奇数
#define RChild(i) ((1+(i)) <<1) //偶数
PQ_ComplHead = PQ + Vector
template <typename T> class PQ_ComplHeap : public PQ<T>, public Vector<T>{
protected: Rank percolateDown(Rank n, Rank i); //下滤
Rank percolateUp(Rank i); //上滤
void heapify(Rank n); //Floyd建堆算法
public: PQ_ComplHead(T* A, Rank n); //批次构造
{ copyFrom(A,0,n); heapify(n);}
void insert(T); //按照比较器确定的优先级次序,插入词条
T getMax() { return _elem[0];} //读取优先级最高的词条
T delMax(); //删除优先级最高的词条
};
堆序性
数值上,只要0<i,必满足H[i] <= H[Parent(i)]
故H[0]即是全局最大元素
template <typename T> T PQ_ComplHeap<T>::getMax(){ return _elem[0];}
插入与上滤
为插入词条e,只需将e作为末元素接入向量 //结构性自然保持,若堆序性也亦未破坏,则完成
否则,e与其父节点换位 //只能是e与其父节点违反堆序性,若堆序性因此恢复,则完成
否则,e再与父节点换位 //依然只可能是e与其(新的)父节点...
不断重复,直到e与其父亲满足堆序性,或者e到达堆顶
实现
template <typename T> void PQ_ComplHeap<T>::insert(T e)
{ Vector<T>::insert(e); percolateUp(_size - 1);}
template <typename T> Rank PQ_ComplHeap<T>::percolateUp(Rank i){
while(ParentValid(i)){
Rank j = Parent(i);
if( lt( _elem[i], _elem[j] )) break; //一旦父子不再逆序,上滤旋即完成
swap( _elem[i], _elem[j] ); i = j;
}
return i;
}
删除与下滤
最大元素始终在堆顶,故为删除之,只需
摘除向量首元素,代之以末元素e //结构性保持;若堆序性依然保持则完成
否则e与孩子中的大者换位
否则e再次与孩子中的大者换位
实现
template <typename T> T PQ_ComplHeap<T>::delMax(){
T maxElem = _elem[0]; _elem[0] = _elem[--_size];
percolateDown(_size,0);
return maxElem;
}
template <typename T> Rank PQ_ComplHeap<T>::percolateDown(Rank n, Rank i){
Rank j; //i及其(至多两个)孩子中,堪为父者
while( i != ( j = ProperParent(_elem, n, i))) //只要i非j,则
{ swap(_elem[i], _elem[j]); i = j; } //换位,并继续考察i
return i; //返回下滤抵达的位置
}