点与矢量
简书不识别公式，有道云支持，后续修改
- 点（2维或3维）
- 坐标系
-
类型
根据实际情况选择合适坐标系
- 笛卡尔坐标系 （x, y, z）
- 圆柱坐标系 （h, r,
$\theta$） - 球坐标系 （r,
$\phi$,$\theta$）
-
方向
反转任意轴即可相互转换，一般使用左手坐标系
- 左手坐标系 （使用左手判定）
- 右手坐标系 （使用右手判定）
-
- 矢量
- 基矢量
- 矢量运算
- 矢量和标量乘法
- 单标量
- 分量乘法（阿达马积 Hadamard product）
- 加法和减法
- 矢量之间
- 点和方向之间
- 模
- 归一化和单位矢量
- 法矢量
- 点积和投影
- 点积判定
- 共线
- 共线但反方向
- 垂直
- 相同方向
- 相反方向
- 点积判定
- 叉积
- 模
- 方向 （随着坐标系的选择而改变）
- 反交换律
- 绕笛卡儿积的正旋方向
- 矢量和标量乘法
\vec{i}\times\vec{j} = -(\vec{j}\times\vec{i}) = \vec{k} \vec{j}\times\vec{k} = -(\vec{k}\times\vec{j}) = \vec{i} \vec{k}\times\vec{i} = -(\vec{i}\times\vec{k}) = \vec{j}- 点和矢量的线性插值
\vec{L}=LERP(\vec{A},\vec{B},\beta) =(1-\beta)\vec{A}+\beta\vec{B} =[(1-\beta)A_x+\beta B_x, (1-\beta)A_y+\beta B_y, (1-\beta)A_z+\beta B_z] - 矩阵
乘法
列矢量和行矢量（影响其与矩阵乘法的形式）
单位矩阵
-
逆矩阵
- 高斯消去法
- LU分解法
转置矩阵
-
齐次坐标
- 点或矢量从三维延伸到四维
- 表示点的平移
- 点的
w的分量为1，方向矢量的w分量为0 - 四维齐次坐标转换为三维非齐次坐标，将各分量除以
w
-
基础变换矩阵
- 特点
- 主行矢量
- U代表旋转及或旋转
- t 代表平移矢量
\begin{bmatrix} U_{3\times3} & 0_{3\times1} \\ t_{1\times3} & 1\end{bmatrix}- 平移
- 旋转
- 纯旋转矩阵的逆矩阵，即其转置矩阵
rotate_x(\vec{r},\phi)=[r_x,r_y,r_z,1]\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\cos\phi&\sin\phi&0\\ 0&-\sin\phi&\cos\phi&0\\ 0&0&0&1\end{bmatrix} rotate_y(\vec{r},\theta)=[r_x,r_y,r_z,1]\begin{bmatrix} \cos\theta&0&-\sin\theta&0\\ 0&1&0&0\\ \sin\theta&0&\cos\theta&0\\ 0&0&0&1\end{bmatrix} rotate_z(\vec{r},\gamma)=[r_x,r_y,r_z,1]\begin{bmatrix} \cos\gamma&\sin\gamma&0&0\\ -\sin\gamma&\cos\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{bmatrix}- 缩放
- 统一缩放
- 非统一缩放
\vec{r}S=[r_x,r_y,r_z,1]\begin{bmatrix} s_x&0&0&0\\ 0&s_y&0&0\\ 0&0&s_z&0\\ 0&0&0&1\end{bmatrix}- 4x3矩阵
- 4x4仿射矩阵必然有一列基矢量，可省去以节省内存
- 特点
-
坐标空间
- 模型空间
- 前,上,左右（F,U,L/F）
- 欧拉角
- 俯仰角
$\phi$绕L/F pitch - 偏航角
$\theta$绕U yaw - 滚动角
$\psi$绕F roll
- 俯仰角
- 世界空间
- 固定坐标空间
- 联系其他单个物体
- 观察空间
- 固定于摄像机的坐标系
- 原点在摄像机的焦点
- OpenGL的摄像机坐标系为右手坐标系
- 模型空间
-
基的变更
- 坐标系是相对的
- 其他坐标空间直接或间接地相对于世界空间
- 坐标变换
-
$\vec{w}_c$是子空间轴相对于父空间的位置 -
$\vec{i}_c$,$\vec{j}_c$,$\vec{k}_c$都是子空间的轴在父空间的坐标表示
-
P_p=P_cM_{c->p} M_{c->p}=\begin{bmatrix} \vec{i}_c&0\\ \vec{j}_c&0\\ \vec{k}_c&0\\ \vec{w}_c&0\end{bmatrix}- 缩放子轴
- 从矩阵中获取单位基矢量
- 变换坐标系vs变换矢量
- 某矩阵把矢量从子空间变换至父空间，则该矩阵同时也把坐标轴从父空间变换至子空间
- 约定
- 变换施于矢量而非坐标轴
- 把矢量写成行而非列
- 但也需要具体问题具体分析
-
变换法矢量
- 注意确保维持其长度和垂直性
-
$M_{A->B}$表示将点或矢量（非法矢）从空间A变换到B，若$M_{A->B}$只含统一缩放而无切变，则其可变换法矢量，否则不可。若$M_{A->B}$含非统一缩放或切变（非正交），则可用$(M^{-1}_{A->B})^T$逆转置矩阵变换法矢量。
-
内存中存储矩阵
- 行存储
- 列存储
- 四元数
- 矩阵变换的缺点
- 矩阵使用9个浮点值表示旋转，有冗余，因为旋转只有三个自由度
- 矩阵乘法旋转矢量，乘法加法运算次数多
- 矩阵难以插值
- 把单位四元数视为三维旋转
-
$\vec{a}$为单位旋转轴，右手法则旋转 -
$\theta$为旋转角度
q=[\vec{q}_v\quad q_s]=[\vec{a}\sin{\frac{\theta}{2}}\quad\cos{\frac{\theta}{2}}] q_x^2+q_y^2+q_z^2+q_w^2=1 -
- 四元数运算
- 乘法 （格拉斯曼积 Grassmann product）
pq=\left[(p_s\vec{q}_v+q_s\vec{p}_v+\vec{p}_v\times\vec{q}_v)\quad(p_sq_s-\vec{p}_v\cdot\vec{q}_v)\right] \text{p,q为旋转，先旋转q，再旋转p}- 共轭及逆四元数
\text{逆四元数满足}\quad qq^{-1}=1\quad\text{则}\quad q^{-1}=\frac{q^*}{{\begin{vmatrix}q\end{vmatrix}}^2} \text{共轭}\quad q^{*}=[-\vec{q}_v\quad q_s] \text{逆}\quad q^{-1}=q^*\quad\text{当}{\begin{vmatrix}q\end{vmatrix}}=1- 积的共轭及逆四元数
(pq)^*=q^*p^* (pq)^{-1}=q^{-1}p^{-1} - 以四元数旋转矢量
- 将矢量写作四元数形式
v=[\vec{v}\quad0]- 旋转
v^{\prime}=rotate(q,\vec{v})=qvq^{-1}=qvq^* \text{或}\quad \vec{v}^{\prime}=rotate(q,\vec{v})=\vec{v}+2\vec{q}_v\times(\vec{q}_v\times\vec{v}+q_s\vec{v})- 四元数的串接
- 矩阵的串接
\vec{v}^{\prime}=\vec{v}R_1R_2R_3=\vec{v}R_{net}- 四元数的串接
v^{\prime}=q_3q_2q_1vq_1^{-1}q_2^{-1}q_3^{-1}=q_{net}vq_{net}^{-1}
- 等价的四元数和矩阵
\text{设} q=[x\quad y\quad z\quad w]\text{, 则} R=\begin{bmatrix} 1-2y^2-2z^2&2xy+2zw&2xy-2yw\\ 2xy-2zw&1-2x^2-2z^2&2yz+2xw\\ 2xz+zyw&2yz-2xw&1-2x^2-2y^2 \end{bmatrix}-
旋转性的线性插值
- 线性插值
q_{lerp}=LERP(q_A,q_B,\beta) =\frac{(1-\beta)q_A+\beta q_B}{\begin{vmatrix}(1-\beta)q_A+\beta q_B\end{vmatrix}} =normalize\left({\begin{bmatrix} (1-\beta)q_{A_x}+\beta q_{B_x}\\ (1-\beta)q_{A_y}+\beta q_{B_y}\\ (1-\beta)q_{A_z}+\beta q_{B_z}\\ (1-\beta)q_{A_w}+\beta q_{B_w} \end{bmatrix}}^T \right)缺点：四元数其实是四维超球上的点。LERP实际上是沿超球的弦上进行插值，而不是在超球面上插值。这样导致----当
$\beta$以恒定速度改变时，旋转动画并非以恒定角速度进行，两端慢，中间快。- 球面线性插值
q_{slerp}=SLERP(p,q,\beta) =\frac{\sin{((1-\beta)\theta)}}{\sin\theta}p+\frac{\sin{(\beta \theta)}}{\sin\theta}q \cos\theta=p\cdot q
- 矩阵变换的缺点
- 比较各种旋转表达方式
- 欧拉角
简单直观
围绕单轴的旋转容易插值，但注意任意方向轴的插值
-
万向节锁
当旋转
$90^{\degree}$时，三主轴中的一个会与另一个主轴完全对齐。 旋转顺序对结果产生影响
-
$3\times3$矩阵- 独一无二的表达任意旋转
- 方便但不直观
- 不容易插值，存储空间大
- 轴角
- 直观，存储少
$[\vec{a}\quad \theta]$ - 不方便插值
- 必须转换为矩阵或四元数使用
- 直观，存储少
- 四元数
- 可串接旋转
- 可直接作用于点和矢量
- 插值方便
- 存储少，利用旋转时
$q$等效为$-q$且为单位四元数可以少存储一个元素
-
$SQT$变换- 四元数结合平移矢量和缩放因子
SQT=[\vec{s}\quad q\quad \vec{t}]- 容易插值，平移矢量和缩放因子采用
$LREP$，四元数采用$SLREP$。
- 对偶四元数
- 可完整表时涉及旋转、平移、缩放的变换
\hat a=a_0+\varepsilon a_{\varepsilon} - 旋转和自由度
- 指物体有多少个互相独立的可变状态（位置和定向）。
- 自由度
$DOF$N_{DOF}=N_{\text{参数}}-N_{\text{约束}}类别 参数个数 约束个数 约束 欧拉角 3 0 无 轴角 4 1 轴矢量为单位长度 四元数 4 1 四元数为单位长度 矩阵 9 6 每个行和列矢量为单位长度
- 欧拉角
- 其他数学对象
- 直线、光线及线段
- 参数式方程
- 球体
- 存储为
$[C_x\quad C_y\quad C_z\quad r]$
- 存储为
- 平面
- 一般式及点法式
Ax+By+Cz+D=0 \vec{n}\cdot\vec{P}=-d - 存储为
$\vec{L}=[\vec{n}\quad d]$ - 使用逆转置矩阵可以把
$\vec{L}$从一空间转换为另一空间
- 一般式及点法式
- 轴对齐包围盒（AABB）
- 三维长方体，6个面都与某坐标系的正交轴对齐
$[x_{min}\quad x_{max}\quad y_{min}\quad y_{max}\quad z_{min}\quad z_{max}]$- 检测一点P是否在AABB盒内
x_{min} \leq P_x \leq x_{max} , y_{min} \leq P_y \leq y_{max} , z_{min} \leq P_z \leq z_{max}- 用作碰撞检测的早期淘汰测试
- AABB盒相交
- 定向包围盒（OBB）
- 三维长方体，其定向与其包围的物体按照某逻辑方式对齐，通常与物体的局部空间轴对齐
- 可将点变换到与OBB对齐的坐标空间，在使用AABB相交测试
- 平截头体
- 观察空间中
- 用点积测出某点是在每个平面的前面还是后面，可以判断点是否在平截头体内。
- 或，把要测试的世界空间点，通过透视变换到齐次裁剪空间。则世界空间的平截头体在此空间变为AABB
- 凸多面体区域
- 由任意数量的平面集合定义，平面的法线全部向内或向外。
- 适合作为任何形状的出发区域
- 直线、光线及线段
- 硬件加速的SIMD运算
- SSE寄存器
- 在32位浮点包裹模式中，每个SSE寄存器含4个32位float
- Visual Studio 编译器提供内建数据类型__m128
- __m128变量需要16字节对齐
- SSE寄存器
- 产生随机数
- 线性同余产生器LGG
- 梅森旋转算法MT（SFMT实现）
- 所有伪随机数产生器之母及Xorshift
OpenGL
View Matrix
Perspective Projection Matrix
P=\begin{bmatrix}
\frac{1}{aspect\,\tan{\frac{\theta}{2}}}&0&0&0\\0&\frac{1}{\tan{\frac{\theta}{2}}}&0&0\\
0&0&-\frac{f+n}{f-n}&-\frac{2fn}{f-n}\\
0&0&-1&0
\end{bmatrix}
\text{[r,l] [t,b]}
P=\begin{bmatrix}
\frac{2n}{r-l}&0&\frac{r+l}{r-l}&0\\
0&\frac{2n}{t-b}&\frac{t+b}{t-b}&0\\
0&0&-\frac{f+n}{f-n}&-\frac{2fn}{f-n}\\
0&0&-1&0
\end{bmatrix}
\text{if r=-l, t=-b}
P=\begin{bmatrix}
\frac{n}{r}&0&\frac{r+l}{r-l}&0\\
0&\frac{2n}{t-b}&\frac{t+b}{t-b}&0\\
0&0&-\frac{f+n}{f-n}&-\frac{2fn}{f-n}\\
0&0&-1&0
\end{bmatrix}
- Orthographic Projection Matrix
O=\begin{bmatrix}
\frac{2}{r-l}&0&0&-\frac{r+l}{r-l}\\
0&\frac{2}{t-b}&0&-\frac{t+b}{t-b}\\
0&0&-\frac{2}{f-n}&-\frac{f+n}{f-n}\\
0&0&0&1
\end{bmatrix}
\text{if r=-l, t=-b}
O=\begin{bmatrix}
\frac{1}{r}&0&0&0\\
0&\frac{1}{t}&0&0\\
0&0&-\frac{2}{f-n}&-\frac{f+n}{f-n}\\
0&0&0&1
\end{bmatrix}
