算法复杂度分析
算法复杂度基本定义
算法复杂度分析基于以下四条定义：
- 如果存在常数c与$n_{0}$使$N \geq n_{0} $时，有$T(N) \leq cf(N)$，则记 $T(N) = O(f(N))$
- 如果存在常数c与$n_{0}$使$N \geq n_{0} $时，有$T(N) \geq cf(N)$，则记 $T(N) = \Omega(f(N))$
- 当且仅当$T(N) = O(f(N))$且$T(N) = \Omega(f(N))$时，记$T(N) = \Theta(f(N))$
- 若$T(N) = O(f(N))$且$T(N) \neq \Theta(f(N))$时，记$T(N) = o(f(N))$
若使用比较简单（不甚准确）的表达：
- 当T(N)增长的比f(N)慢的时候，认为$T(N) = O(f(N))$
- 当T(N)增长的比f(N)快的时候，认为$T(N) = \Omega(f(N))$
- 当T(N)和f(N)一样快的时候，认为$T(N) = \Theta(f(N))$
算法复杂度分析运算
- 加法：T1(N)=O(f(x))，T2(N)=O(g(x))，则T1(N) + T2(N) = max{O(f(x)),O(g(x))}
- 乘法：同上假设，T1(N)* T2(N) = O(f(x) * g(x))
算法时间估算
时间估算中，认为每个操作花费时间为1，跳转，判断等所消耗时间可以忽略，例如
for(i = 0;i < N;i++) {
for(j = 0;j < N;j++) {
a += i+ j;
}
b += i;
}
分析以上算法，内循环一次耗时N，外循环一次耗时$N * (N + 1) = N^{2} + N$，时间估算中忽略常数项和低次项，该算法花费时间$O(N^{2})$，由以上可以得出一些结论：
- 顺序语句：时间估算为语句中耗时最多的一条
- 判断语句：时间估算为不超过所有分支运算时间之和（与选择最耗时的一个分支相同）
- 循环语句：时间估算为循环次数的乘积（包括嵌套循环）
最大子序列问题
问题
已知一个序列，要求求和最大的连续子序列的和。例如输入-2，11，-4，13，-5，-2，输出20（11-4+13）
求解
解法一：真.暴力求解
考虑最简单直接的解法，计算出以某个数开头的所有子序列和，取出最大的值
func solution1(data []int, num int) int {
max_sum, this_sum := 0, 0
for i := 0; i < num; i++ {
for j := i; j < num; j++ {
this_sum = 0
for k := i; k < j; k++ {
this_sum += data[k]
}
if this_sum > max_sum {
max_sum = this_sum
}
}
}
return max_sum
} //done: 1.1903458s
解法二：改进.暴力求解
考虑以上求和的部分，每改一个j（结尾位置）都要重新计算全部子序列和。其实前面的和是被重复计算了，计算下一个子序列和时只需要加上结尾的值就可以了。
func solution2(data []int) int {
max_sum, this_sum, num := 0, 0, len(data)
for i := 0; i < num; i++ {
this_sum = 0
for j := i; j < num; j++ {
this_sum += data[j]
if this_sum > max_sum {
max_sum = this_sum
}
}
}
return max_sum
} // done: 1.115286s
解法三：分治法
分治法解决这个问题的方法是：找出左侧一半的最大子串，找出右侧一半的最大子串，找出跨越左右分界的最大子串（左侧终点确定，右侧起点确定），比较得最大值。
func solution3(data []int) int {
if len(data) == 1 {
return data[0]
}
split_num := int(len(data) / 2)
// fmt.Println(split_num)
left_max := solution3(data[:split_num])
right_max := solution3(data[split_num:])
mid_left_max, mid_right_max := 0, 0
mid_left, mid_right := 0, 0
for i := split_num; i >= 0; i-- {
mid_left += data[i]
if mid_left > mid_left_max {
mid_left_max = mid_left
}
}
for i := split_num + 1; i < len(data); i++ {
mid_right += data[i]
if mid_right > mid_right_max {
mid_right_max = mid_right
}
}
mid_max := mid_left_max + mid_right_max
if (mid_max > left_max) && (mid_max > right_max) {
return mid_max
} else if left_max > right_max {
return left_max
} else {
return right_max
}
} //done: 1.1223139s
解法四：动态规划/贪心算法
该算法原理还未理解透彻，正在研究中
func solution4(data []int) int {
max_sum, this_sum, num := 0, 0, len(data)
for i := 0; i < num; i++ {
this_sum += data[i]
if this_sum < 0 {
this_sum = 0
} else if this_sum > max_sum {
max_sum = this_sum
}
}
return max_sum
} //done: 1.1323284s
