循环群

命题与定理

命题1 有限群 $G$ 是循环群当且仅当 $G$ 中有一个元素的阶等于群 $G$ 的阶
命题2 群 $G$ 的运算为乘法，设 $G$ 中元素 $a$ 的阶为 $n$ 则对于正整数 $m$ 有 $a^m=e\Leftrightarrow n|m$
命题3 群 $G$ 的运算为乘法，设 $G$ 中元素 $a$ 的阶为 $n$ ，则 $\forall k\in\mathbb{N^*}$ 有 $|a^k|=\frac{n}{(n,k)}$
命题4 群 $G$ 中，若 $ab=ba,a,b$ 的阶分别为 $n,m$ 且 $(n,m)=1$ 则 $ab$ 的阶等于 $nm$
命题5 设 $G$ 是有限 $Abel$ 群，则 $G$ 中有一个元素的阶是其他元素的阶的倍数
定理1 设 $G$ 是有限 $Abel$ 群，如果对于任给的正整数 $m$ 方程 $x^m=e$ 在 $G$ 中的解的个数不超过 $m$ ，那么 $G$ 是循环群
定理2 有限域 $F$ 的所有非零元组成的集合 $F^*$ 对于乘法成为一个群，且 $F^*$ 是循环群
定理3 设 $m$ 是大于1的整数，则 $\mathbb{Z_m^*}$ 为循环群当且仅当 $m$ 为下列情形之一： $2,4,p^r,2p^r$ 其中 $p$ 是奇素数， $r\in\mathbb{N^*}$
命题6 设 $\sigma$ 是 $G$ 到 $\overline{G}$ 的一个群同构映射，则
(1) $\sigma(e)=\overline{e}$ 其中 $\overline{e}$ 是 $\overline{G}$ 的单位元
(2) $\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1},\forall a\in G$
(3)a与 $\sigma(a)$ 或者同为无限阶元素，或者它们的阶相同
定理4 (1)任意一个无限循环群都与 $(\mathbb{Z},+)$ 同构
(2)对于 $m>1$ 任意一个 $m$ 阶循环群都与 $(\mathbb{Z_m},+)$ 同构
(3)1阶循环群都与加法群 $\{0\}$ 同构
定理5 设 $m_1,m_2$ 都是大于1的整数，则 $(\mathbb{Z_{m_1}}\oplus\mathbb{Z_{m_2}},+)$ 是循环群当且仅当 $m_1$ 与 $m_2$ 互素

例题

1.4.1证明 $Euler$ 定理：若 $n$ 是正整数， $a$ 是与 $n$ 互素的整数，则 $a^{\varphi(n)}\equiv1(mod\ n)$ 其中 $\varphi(n)$ 是 $Euler$ 函数，即 $\varphi(n)$ 是与 $n$ 互素的不超过 $n$ 的正整数的个数。
特别的，若 $p$ 是素数，则得到 $Fermat$ 小定理： $a^p\equiv a(mod\ p),\forall a\in\mathbb{Z}$
1.4.3群 $G$ 没有非平凡子群的充分必要条件是 $G=\{1\}$ 或是素数阶循环群
1.4.6如果有限群 $G$ 有唯一的极大子群，则 $G$ 是素数幂阶循环群
1.4.7举一个无限群的例子，它的任意阶数不为1的子群都具有有限指数
1.4.8设 $p$ 是一个素数， $G=\{x\in\mathbb{C}|\exists n\in \mathbb{Z^+}s.t. x^{p^n}=1 \}$ 则 $G$ 对于复数的乘法作成群。试证 $G$ 的任意真子群都是有限阶的循环群。
1.4.9若群 $G$ 只有有限多个子群，则 $G$ 是有限群
1.4.10有理数加法群 $\mathbb{Q}$ 不是循环群，但它的任意有限生成的子群都是循环群。
1.4.11在 $n$ 阶循环群 $G$ 中，对 $n$ 的每一个正因子 $m$ 阶为 $m$ 的元恰好有 $\varphi(m)$ 个，其中 $\varphi(m)$ 是与 $m$ 互素且不超过 $m$ 的正整数的个数，由此证明等式 $\sum\limits_{m|n}\varphi(m)=n$
1.4.12设 $G$ 是一个 $n$ 阶有限群，若对 $n$ 的每一个因子 $m$ ， $G$ 中之多只有一个 $m$ 阶子群，则 $G$ 是循环群。
1.4.13群 $G$ 是循环群当且仅当 $G$ 的任一子群形如 $G^m=\{g^m|g\in G\}$ 其中 $m$ 是非负整数。

参考文献

冯克勤, 章璞. 近世代数三百题[M]. 高等教育出版社, 2010.

最后编辑于：2019.02.06 21:11:10

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