2.1环同态，理想，商环

  1. 设 F 是一个域, 令
    S = \{ aE_{11} \mid a \in F \}. 证明：S 是 M_n(F) 的一个子环, 并且求 S 的单位元。
    【解答】证明子环只需要说明对于减法和乘法封闭即可。
    【证明】aE_{11} - bE_{11} = (a-b)E_{11} \in S,aE_{11}bE_{11}= abE_{11}

它的单位元是E_{11}，这说明子环R_1的单位元和最初的环R的单位元是有可能不一样的。并且子环有时候未必会有单位元。

  1. 设 R 是有单位元的环, 证明：R 的每一个非平凡的理想都不可能含有单位元。
    【解答】假设I是R的一个非平凡的理想，存在a \in R且a \notin I，那么ae = a \notin I这与I是理想矛盾。
    因此R的每一个非平凡的理想都不可能含有单位元。

  1. 证明：域 F 没有非平凡的理想。
    【解答】同样用反证法，我们假设I是域F的一共非平凡理想，假设a \in I那么a^{-1}\in F，所以1 = aa^{-1} \in I。所以1 \in I,根据2中的结论，非平凡的理想不可能包含单位元，因此F没有非平凡的理想。

  2. 设 R 是一个有单位元 1(\neq 0) 的交换环, 证明：如果 R 没有非平凡的理想, 那么 R 是一个域。

【解答】R已经是一共有单位元的交换环了，现在只需要说明R中的每个非零元都可逆即可。
对于任意的a \in R且a不是零元，考虑Ra = \{ra| r\in R\}由于r_1a-r_2a = (r_1 -r_2)a \in Ra,r(r_1a)=(rr_1)a\in Ra。所以Ra是R的一个理想。那么它只能是一个平凡的理想，且Ra \neq \{0\}
所以Ra = R ，1 \in Ra,也就是存在b \in R使得ba = 1所以a可逆，这样就说明了R是一个域。

  1. 证明：若 \sigma 是环 R 到 \tilde{R} 的一个环同构, 且 R 有单位元 1, 则 \sigma(1) 是 \tilde{R} 的单位元。
    从而若 \sigma 是环 R 到 \tilde{R} 的一个环同构, 则 \sigma 是 R 到 \tilde{R} 的一个双射, 且 \sigma 是 R 到 \tilde{R} 的一个环同态。

【解答】因为\sigma是一个同构，所以\tilde{R}中的所有元素都可以表示成\sigma(a)的形式。于是\sigma(1)\sigma(a) = \sigma(1 \cdot a) = \sigma(a) ,\sigma(a)\sigma(1) = \sigma(a \cdot 1) = \sigma(a)所以\sigma(1)是\tilde{R}中的单位元
。

  1. 若 R 是有单位元 1(\neq 0) 的交换环, 且 R 没有非零的零因子, 则 R 称为整环。证明：有限整环一定是域。
    【解答】我们假设有限整环R = \{ a_1,a_2,\cdots,a_n \}
    那么任意的a\in R我们知道aR = \{aa_1,aa_2,\cdots,aa_n\}两两不同，否则做差，根据整环的性质可以推出矛盾。
    于是我们就知道aR = R,也就是说，对于任意的a \in R存在b\in R使得ab = 1所以a可逆。根据a的任意性，我们知道R中所有非零元都可逆。于是有限整环一定是域。

  2. 证明：在有单位元的有限环 R 中, 任一不是零因子的非零元一定是可逆元。

【证明】和第6题一样，取a不是零因子，这时候就可以验证aR = R，剩余的步骤和6一样。

【注释】第七题和第六题的区别在于，第6题的a是可以随便取的，但是第7题的a不能取零因子。剩余步骤基本一样。

  1. 若 R 是一个有单位元 1(\neq 0) 的环, 且 R 的每个非零元都可逆, 则 R 称为一个除环或体。令 \mathscr{H} = \left\{ \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\overline{\beta} & \overline{\alpha} \end{pmatrix} \mid \alpha, \beta \in \mathbb{C} \right\},
    证明：\mathscr{H} 是一个除环, 且 \mathscr{H} 与四元数体 \mathbb{H} 环同构。

【证明】我们不妨设\alpha = a +b j ,\beta = c +di
令映射\sigma : \mathscr{H} \rightarrow \mathbb{H}

\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\overline{\beta} & \overline{\alpha} \end{pmatrix} \rightarrow a+bi+cj+dk

  1. 设 D 是一个除环, 证明：M_n(D) 是单环。
    【注释】类似单群没有非平凡正规子群的定义，单环是指一个环没有非平凡的理想。
    【证明】我们现在任取一个J \neq \{0\}为M_n(D)的一个理想，存在非零矩阵A \in J，A中有非零元a_{ij} 。所以E_{ii}AE_{jj} = a_{ij}E_{ij}，进一步可以推出E_{ij}\in J，于是E_{mn} = E_{mi}E_{ij}E_{jn} \in J。由于m,n的任意性，我们找到了M_n(D)的一组基地都属于J，进而J = M_n(D)。
    这说明了M_n(D)没有非平凡的理想，是一个单环。

  2. 设 D 是一个除环, 把 M_n(D) 中除去第 j 列外其余元素全为 0 的矩阵组成的集合记做 M_n^{(j)}(D)。证明：M_n^{(j)}(D) 是环 M_n(D) 的一个左理想, 并且 M_n^{(j)}(D) = M_n^{(j)}(D)E_{jj}。

【证明】①首先证明对于减法封闭。
②证明对于\forall H \in M_n^{(j)}(D), A \in M_n(D), AH \in M_n^{(j)}(D),它是一个左理想。
③任意的\forall H \in M_n^{(j)}(D).我们有HE_{jj} = H
这个结果显然成立。

  1. 设 \sigma 是环 R 到 \tilde{R} 的一个环同态, 且是满同态。证明：
    (1) 若 I 是 R 的一个理想, 则 \sigma(I) 是 \tilde{R} 的一个理想；
    (2) 若 \tilde{I} 是 \tilde{R} 的一个理想, 则 \sigma^{-1}(\tilde{I}) 是 R 的一个理想, 并且 \text{Ker}\sigma \subseteq \sigma^{-1}(\tilde{I}), 其中 \sigma^{-1}(\tilde{I}) 表示在 \sigma 下 \tilde{I} 的原像集。
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