【机器学习】算法原理详细推导与实现(五):支持向量机(下)

上一章节介绍了支持向量机的生成和求解方式，能够根据训练集依次得出 $\omega$ 、 $b$ 的计算方式，但是如何求解需要用到核函数，将在这一章详细推导实现。

核函数

在讲核函数之前，要对上一章节得到的结果列举出来。之前需要优化的凸函数为：

$min_{\gamma,\omega,b}->\frac{1}{2}||\omega||^2$

$y^{(i)}(\omega^Tx^{(i)}+b) \geq 1 ,i=1,2,...,m$

这里假设数据是线性可分隔的，对于这个优化项目，给定一个训练集合，这个问题的算法会找到一个数据集合的最优间隔分类器，可以使训练样本的几何间隔最大化。

在上一章节【机器学习】算法原理详细推导与实现(四):支持向量机(上)中，我们推出了这个问题的对偶问题，也就是要使这个式子最大化：

$max_{\alpha}\Gamma(\omega,b,\alpha)=\sum_{i=1}^m\alpha_i-\frac{1}{2}\sum^m_{i=1,j=1}\alpha_i\alpha_jy^{(i)}y^{(j)}<x^{(i)},x^{(j)}>$

$\alpha_i \geq 0,i=1,2,...,m$

$\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}=0$

上面是我们的原始问题，且根据拉格朗日对偶步骤计算得到参数 $\omega$ ：

$\omega=\sum^m_{i=1}\alpha_iy^{(i)}x^{(i)}$

$b=\frac{max_{i:y^{(i)}=-1}\omega^Tx^{(i)}+min_{i:y^{(i)}=1}\omega^Tx^{(i)}}{2}$

当需要做分类预测时，需要对新来的输入值 $x$ 进行计算，计算其假设的值是否大于零，也就是做一次线性运算来判断是正样本还是负样本，有如下计算函数：

$\begin{split} h_{\omega,b}(x)&=g(\omega^Tx+b) \\ &=g(\sum^m_{i=1}\alpha_iy^{(i)}<x^{(i)},x>+b) \end{split}$

核函数概念

接下来要介绍“核”的概念，这个概念具有这样的性质：

算法对于x的依赖仅仅局限于这些内积的计算，甚至在整个算法中，都不会直接使用到向量x的值，而是只需要用到训练样本与输入特征向量的内积

而“核”的概念是这样的，考虑到最初在【机器学习】算法原理详细推导与实现(一):线性回归中提出的问题，比如有一个输入 $x\in R$ 是房屋的面积， $y$ 是房子的价格。假设我们从样本点的分布中看到 $x$ 和 $y$ 符合3次曲线，那么我们会希望使用 $x$ 的三次多项式来逼近这些样本点。首先将特征 $x$ 扩展到三维 $(x,x^2,x^3)$ ，这里将这种特征变换称作特征映射，映射函数为 $\varphi(x)$ ：

$\varphi(x)=\begin{bmatrix} x \\ x^2 \\ x^3 \end{bmatrix}$

用 $\varphi(x)$ 代表原来的特征 $x$ 映射成的，这里希望得到映射后的特征应用于svm分类，而不是最初的一维特征，只需要将前面 $\omega^Tx+b$ 公式中的内积从 $<x^{(i)},x^{(j)}>$ 映射到 $<\varphi(x)^{(i)},\varphi(x)^{(j)}>$ 。至于为什么需要映射后的特征而不是最初的特征来参与计算，上面提到的一个原因：为了更好的拟合，另外一个原因是样本可能存在线性不可分的情况，而特征映射到高维过后往往就可分了。

如果原始特征的内积为 $<x,z>$ ，映射后为 $<\varphi(x),\varphi(z)>$ ，那么一般核函数定义为：

$K(x,z)=\varphi(x)^T\varphi(z)$

为什么会那么定义核函数？有些时候 $\varphi(x)$ 的维度将会非常的高，可能会包含非常高维的多项式特征，甚至会到无限维。当 $\varphi(x)$ 的维度非常高时，可能无法高效的计算内积，甚至无法计算。如果要求解前面所提到的凸函数，只需要先计算 $\varphi(x)$ ，然后再计算 $\varphi(x)^T\varphi(z)$ 即可，但是这种常规方法是很低效的，比如最开始的特征是 $n$ 维，并将其映射到 $n^2$ 维度，这时候计算需要 $O(n^2)$ 的时间复杂度。这里假设 $x$ 和 $z$ 都是 $n$ 维的：

$K(x,z)=(x^Tz)^2$

展开后得到：

$\begin{split} K(x,z)&=(x^Tz)^2 \\ &=(\sum^n_{i=1}x_iz_i)(\sum^n_{j=1}x_jz_j) \\ &=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}x_ix_jz_iz_j \\ &=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}(x_ix_j)(z_iz_j) \\ &=\varphi(x)^T\varphi(z) \end{split}$

也就是说，如果开始的特征是 $n$ 维，并将其映射到 $n^2$ 维度后，其映射后的计算量为 $O(n^2)$ 。而如果只是计算原始特征 $x$ 和 $z$ 的内积平方，时间复杂度还是 $O(n)$ ,其结果等价于映射后的特征内积。

回到之前的假设，当 $n=3$ 时，这个核 $K(x,z)$ 对应的特征映射 $\varphi(x)$ 为：

$\varphi(x)=\begin{bmatrix} x_1x_1 \\ x_1x_2 \\ x_1x_3 \\ x_2x_1 \\ x_2x_2 \\ x_2x_3 \\ x_3x_1 \\ x_3x_2 \\ x_3x_3 \end{bmatrix}$

这是时间复杂度为 $O(n^2)$ 计算方式，而如果不计算 $\varphi(x)$ ，直接计算 $<x,z>$ 从而得到< $\varphi(x)$ , $\varphi(z)$ >的内积，时间复杂度将缩小 $O(n)$ 。

同理将核函数定义为：

$\begin{split} K(x,z)&=(x^Tz+c) \\ &=\sum^n_{i,j=1}(x_ix_j)(z_iz_j)+\sum^n_{i=1}(\sqrt{2cx_i})(\sqrt{2cx_j})+c^2 \end{split}$

当 $n=3$ 时，这个核 $K(x,z)$ 对应的特征映射 $\varphi(x)$ 为：

$\varphi(x)=\begin{bmatrix} x_1x_1 \\ x_1x_2 \\ x_1x_3 \\ x_2x_1 \\ x_2x_2 \\ x_2x_3 \\ x_3x_1 \\ x_3x_2 \\ x_3x_3 \\ \sqrt{2c}x_1 \\ \sqrt{2c}x_2 \\ \sqrt{2c}x_3 \\ c \end{bmatrix}$

总结来说，核的一种一般化形式可以表示为：

$K(x,z)=(x^Tz+c)^d$

对应着 $\begin{bmatrix} n+d \\ d \end{bmatrix}$ 个特征单项式，即特征维度。

假如给定一组特征 $x$ ，将其转化为一个特征向量 $\varphi(x)$ ;给定一组特征 $z$ ，将其转化为一个特征向量 $\varphi(z)$ ，所以核计算就是两个向量的内积 $<\varphi(x),\varphi(z)>$ 。如果 $\varphi(x)$ 和 $\varphi(z)$ 向量夹角越小，即两个向量越相似(余弦定理)，那么 $\varphi(x)$ 和 $\varphi(z)$ 将指向相同的方向，因此内积会比较大；相反的如果 $\varphi(x)$ 和 $\varphi(z)$ 向量夹角越大，即两个向量相似度很低，那么 $\varphi(x)$ 和 $\varphi(z)$ 将指向不同的方向，因此内即将会比较小。

如果有一个核函数如下:

$K(x,z)=exp^{(-\frac{||x-z||^2}{2\sigma^2})}$

如果 $x$ 和 $z$ 很相近( $||x-z||\approx0$ )，那么核函数的值为1；如果 $x$ 和 $z$ 相差很大( $||x-z||>>0$ )，那么核函数的值约等于0。这个核函数类似于高斯分布，所以称为高斯核函数，能够把原始特征映射到无穷维。

在前面说了：为什么需要映射后的特征而不是最初的特征来参与计算？

上面提到了两个原因：

为了更好的拟合

样本可能存在线性不可分的情况，而特征映射到高维过后往往就可分了

第二种情况如下所示：

image

左边使用线性的时候，使用svm学习出 $\omega$ 和 $b$ 后，新来样本 $x$ 就可以代入到 $\omega^Tx+b$ 中进行判断，但是像图中所示是无法判断的；如果使用了核函数过后， $\omega^Tx+b$ 变成了 $\omega^T\varphi(x)+b$ ，直接可以用下面的方式计算：

$\begin{split} \omega^Tx+b&=(\sum^m_{i=1}\alpha_iy^{(i)}x^{(i)})^Tx+b \\ &=\sum^m_{i=1}\alpha_iy^{(i)}<x^{(i)},x>+b \\ &=\sum^m_{i=1}\alpha_iy^{(i)}K(x^{(i)})+b \end{split}$

只需要将 $<x^{(i)},x>$ 替换成 $K(x^{(i)})$ 就能将低维特征转化为高维特征，将线性不可分转化成高维可分。

规则化和不可分情况处理

我们之前讨论的情况都是建立在样例线性可分的假设上，当样例线性不可分时，我们可以尝试使用核函数来将特征映射到高维，这样很可能就可分了。然而，映射后我们也不能100%保证可分。那怎么办呢，我们需要将模型进行调整，以保证在不可分的情况下，也能够尽可能地找出分隔超平面。

看下面的图可以解释：

image

在右边的图可以可以看到上面一个离群点（可能是噪声），会造成超平面的移动改变，使集合间隔的间隔距离缩小，可见以前的模型对噪声非常敏感。再有甚者，如果离群点在另外一个类中，那么这时候就是线性不可分了。这时候我们应该允许一些点游离在模型中违背限制条件（函数间隔大于 1）。我们设计得到新的模型如下（也称软间隔）：

$min_{\gamma,\omega,b}->\frac{1}{2}||\omega||^2+C\sum^m_{i=1}\xi_i$

$y^{(i)}(\omega^Tx^{(i)}+b) \geq 1-\xi_i ,i=1,2,...,m$

$\xi_i \geq 0,i=1,...,m$

引入非负参数 $\xi_i$ (松弛变量)过后，也就意味着允许某些样本的函数间隔小于1，甚至是负数，负数就代表样本点在对方区域中，如上方右边图的虚线作为超平面，一个空心圆点的函数间隔为负数。

增加新的条件后，需要重新调整目标函数，增加对离群点进行处罚，也就是在求最小值的目标函数后面加上 $C\sum^m_{i=1}\xi_i$ ，因为定义 $\xi_i \geq 0$ ，所以离群点越多，那么目标函数的值越大，就等于违背求最小值的初衷。而 $C$ 是离群点的权重， $C$ 越大表明离群点对于目标函数的影响越大，也就是越不希望看到离群点。

修改目标函数后，原式子变成：

$\Gamma(\omega,b,\xi,\alpha,r)=\frac{1}{2}\omega^T\omega+C\sum^m_{i=1}\xi_i-\sum^m_{i=1}\alpha_i[y^{(i)}(x^T\omega+b)-1+\xi_i]-\sum^m_{i=1}r_i\xi_i$

这里的 $\alpha$ 和 $r$ 都是拉格朗日算子，根据上一章节拉格朗日的求解步骤：

构造出拉格朗日函数后，将其看作是变量 $\omega$ 和 $b$ 的函数

分别对其求偏导，得到 $\omega$ 和 $b$ 的表达式

然后带入上述拉格朗日式子中，求带入后式子的极大值

最后化简得到的结果是：

$max_{\alpha}W(\alpha)=\sum_{i=1}^m\alpha_i-\frac{1}{2}\sum^m_{i=1,j=1}\alpha_i\alpha_jy^{(i)}y^{(j)}<x^{(i)},x^{(j)}>$

$C \geq \alpha_i \geq 0,i=1,2,...,m$

$\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}=0$

这里唯一不同的地方是限制条件多了一个离群点的权重 $C$ 。

SMO优化算法

SMO 是一个求解对偶问题的优化算法，目前还剩下最后的对偶问题还未解决：

$max_{\alpha}W(\alpha)=\sum_{i=1}^m\alpha_i-\frac{1}{2}\sum^m_{i=1,j=1}\alpha_i\alpha_jy^{(i)}y^{(j)}<x^{(i)},x^{(j)}>$

$C \geq \alpha_i \geq 0,i=1,2,...,m$

$\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}=0$

我们需要根据上述问题设计出一个能够高效解决的算法，步骤如下：

首先选择两个要改变的 $\alpha$ 值 $\alpha_i$ 、 $\alpha_j$

其次保持除了 $\alpha_i$ 、 $\alpha_j$ 之外的所有参数固定

最后同时相对于这两个参数使 $\omega$ 取最优，且同时满足所有约束条件

怎样在满足所有约束条件的情况下，相对于选出来的两个参数 $\alpha_i$ 、 $\alpha_j$ 使 $\omega$ 取最优值？SMO优化算法能够高效完成这个工作。SMO算法非常的高效，只需要更多次数的迭代以达到收敛，而且每次迭代所需要的代价都非常小。

为了推出这个步骤，我们需要相对于 $\alpha_i$ 、 $\alpha_j$ 进行更新，假设取值是 $\alpha_1$ 、 $\alpha_2$ ，即假设 $\alpha_1$ 、 $\alpha_2$ 不再是变量（可以由其他值推出），可以根据约束条件推导得到：

$\begin{split} \sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}&=0 \\ \alpha_1y_1+\alpha_2y_2&=-\sum_{i=3}^m\alpha_iy^{(i)} \end{split}$

由于 $\alpha_3$ 、 $\alpha_4$ 、...、 $\alpha_m$ 都是已知固定值，因此为了方便将等式右边，可将等式右边标记成 $\zeta$ ：

$\alpha_1y^{(1)}+\alpha_2^{(2)}=\zeta$

还有一个约束条件：

$C \geq \alpha_i \geq 0,i=1,2,...,m$

这个约束条件被称作为“方形约束”，如果将 $\alpha_1$ 、 $\alpha_2$ 画出来：

image

那么 $\alpha_1$ 、 $\alpha_2$ 表示的值应该都在 $[0,C]$ 之间，也就是在方框里面，这意味着：

$\alpha=\frac{\zeta-\alpha_2y^{(2)}}{y^{(1)}}$

然后带入到需要求解的式子中：

$W(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m)=W(\frac{\zeta-\alpha_2y^{(2)}}{y^{(1)}},\alpha_2,...,\alpha_m)$

在前面我们认为 $\alpha_3$ 、 $\alpha_4$ 、...、 $\alpha_m$ 都是已知固定值，只有 $\alpha_1$ 、 $\alpha_2$ 是未知需要求解的。那么把 $W(\frac{\zeta-\alpha_2y^{(2)}}{y^{(1)}},\alpha_2,...,\alpha_m)$ 展开后可以表示成 $a\alpha_2^2+b\alpha_2+c$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是由 $\alpha_3$ 、 $\alpha_4$ 、...、 $\alpha_m$ 表示出来，即 $W$ 是一个二次函数。而其实对于所有的 $\alpha$ ，如果保持其他参数都固定的话，都可以表示成 $W$ 关于某个 $\alpha$ 的一元二次函数：

$\begin{split} W(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m)&=W(\frac{\zeta-\alpha_2y^{(2)}}{y^{(1)}},\alpha_2,...,\alpha_m) \\ &=a\alpha_2^2+b\alpha_2+c \end{split}$

由于上面式子是一个标准的一元二次函数，所以很容易求解出最优值，从而可以得到 $\alpha_2$ 的最优值，而这个最优值一定会在上图中 $\alpha_1-\alpha_2=\zeta$ 这条线上，且在“方形约束”中。按照这种方式解除 $\alpha_2$ 后，之后根据 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的关系求解出 $\alpha_1$ ，这样子就求解出了相对于 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 关于 $W$ ，且满足所有约束条件的最优值，该算法的关键是对一个一元二次函数求最优解，这个求解非常简单，这就使得SMO算法的内嵌计算非常高效。

如何求解 $\alpha_2$ 的值呢？只需要对式子进行求导 $a\alpha_2^2+b\alpha_2+c$ ，即对 $W$ 进行求导，然而要保证 $\alpha_2$ 即在方形约束内，也在 $\alpha_1-\alpha_2=\zeta$ 这条线上，那么就要保证 $H \geq \alpha_2 \geq L$ ，这里使用 $\alpha_2^{new,unclipped}$ 来表示求导出来的 $\alpha_2$ ，然后最后 $\alpha_2^new$ 的迭代更新方式如下所示：

$\alpha_2^new=\begin{cases} H, & \text {if $\alpha_2^{new,unclipped}>H$} \\ \alpha_2^{new,unclipped}, & \text{if $H \geq \alpha_2^{new,unclipped} \geq L$} \\ L, & \text{if $\alpha_2^{new,unclipped} < L$} \end{cases}$

得到 $\alpha_2$ 后，由此可以返回求解 $\alpha_1$ 得到新值 $\alpha_1$ ，这里就是SMO优化算法的核心思想。根据SMO优化算法的核心思想：

首先选择两个要改变的 $\alpha$ 值 $\alpha_i$ 、 $\alpha_j$

其次保持除了 $\alpha_i$ 、 $\alpha_j$ 之外的所有参数固定

最后同时相对于这两个参数使 $\omega$ 取最优，且同时满足所有约束条件

可以求解出所有的 $\alpha$ ，使得 $W$ 取得最大值，即原问题将得到解决：

$max_{\alpha}W(\alpha)=\sum_{i=1}^m\alpha_i-\frac{1}{2}\sum^m_{i=1,j=1}\alpha_i\alpha_jy^{(i)}y^{(j)}<x^{(i)},x^{(j)}>$

$C \geq \alpha_i \geq 0,i=1,2,...,m$

$\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}=0$

总结

svm的步骤总结如下：

先确定间隔器，这里svm一般默认是几何间隔

由间隔器确定间隔函数

从间隔函数查看是否包含不等式约束形式

根据拉格朗日对偶步骤计算得到参数w、b

规则化不可分的参数，即在原对偶式子中加入离群点权重 $C$ ，问题转换为 $max_{\alpha}W(\alpha)$

利用SMO优化算法求解 $W(\alpha)$ 最优值，首先选择两个要改变的 $\alpha$ 值 $\alpha_i$ 、 $\alpha_j$

其次保持除了 $\alpha_i$ 、 $\alpha_j$ 之外的所有参数固定

最后同时相对于这两个参数使 $\omega$ 取最优，且同时满足所有约束条件，最后确定选取的这两个 $\alpha_i$ 、 $\alpha_j$ 的值

重复步骤6-9直到所有参数 $\alpha$ 求解完成

svm在神经网络出来之前一直是最优的算法。相比于之前的算法推导复杂一些，但是逻辑并不难，它不想逻辑回归那样去拟合样本点，而是根据几何空间去寻找最优的分割超平面，为了判断哪个超平面最好，引入几个平面间隔最大化目标，从而求解出结果。

实例

有一份数据svm_data1，加载读取：

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.io import loadmat
from sklearn import svm

# 加载data1
raw_data = loadmat('./svm_data1.mat')
# print(raw_data)

# 读取data1的数据
data = pd.DataFrame(raw_data['X'], columns=['X1', 'X2'])
data['y'] = raw_data['y']

positive = data[data['y'].isin([1])]
negative = data[data['y'].isin([0])]
print(positive.shape)
print(negative.shape)

# 查看data1的数据分布
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 8))
ax.scatter(positive['X1'], positive['X2'], s=50, marker='x', label='Positive')
ax.scatter(negative['X1'], negative['X2'], s=50, marker='o', label='Negative')
ax.legend()
plt.show()

数据分布如下所示：

image

可以看到数据分在两边很好区分，用一般的分类器例如逻辑回归、朴素贝叶斯即可区分，这里就用svm的线性核进行分类，设置离群点的权重 $C=1$ ，即不区分离群点：

svc = svm.LinearSVC(C=1, loss='hinge', max_iter=1000)

svc.fit(data[['X1', 'X2']], data['y'])
data1_score_1 = svc.score(data[['X1', 'X2']], data['y'])
print(data1_score_1)

得到的准确率为0.980392156863，分类的图如下：

image

可以看到左上角有一个点原来是正样本，但是被分类为蓝色(负样本)，所以正样本21个，负样本30个，被误分的概率刚好是 $\frac{1}{51}=0.01960784313$ ，所以准确率是 $1-0.01960784313=0.980392156863$ ，刚好对的上。现在这里设置离群点的权重 $C=100$ 用以区分离群点，得到的准确率为1.0，分类图像为：

image

再看第二份数据分布图如下：

image

这次就不能用线性核分类，需要用到RBF核分类：

# 做svm分类，使用RBF核
svc = svm.SVC(C=100, gamma=10, probability=True)
svc.fit(data[['X1', 'X2']], data['y'])
data['Probability'] = svc.predict_proba(data[['X1', 'X2']])[:, 0]

分类的结果图如下所示：

image

结果得到的准确率只有0.769228287521，因此设置了网格调参：

# 简单的网格调参
C_values = [0.01, 0.03, 0.1, 0.3, 1, 3, 10, 30, 100]
gamma_values = [0.01, 0.03, 0.1, 0.3, 1, 3, 10, 30, 100]

best_score = 0
best_params = {'C': None, 'gamma': None}

# 网格调参开始
for C in C_values:
    for gamma in gamma_values:

        # 做svm分类，使用RBF核
        svc = svm.SVC(C=C, gamma=gamma, probability=True)
        svc.fit(data[['X1', 'X2']], data['y'])

        # 交叉验证
        data2_score = cross_validation.cross_val_score(svc, data[['X1', 'X2']], data['y'], scoring='accuracy', cv=3)
        print(data2_score.mean())

最后准确率提高到0.858437379017，调整到的最优参数为{'C': 10, 'gamma': 100}

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