第六课：列空间和零空间
1.子空间
加法封闭、乘法封闭
2.列空间
（1）引入列空间
R^4中的四维向量；
A的列空间由所有列的线性组合构成；
（2）求解
三个列向量无法填充四维空间；
AX=b并不总有解。可能有一大堆b，不是这三个向量的线性组合；
有四个方程，三个未知数。
（3）什么样的b能让方程有解？
通常误解，特殊情况有解。
a).b=0
b).
c).
......
总结：要想方程有解，B应属于A的列空间。b是A的线性组合时，AX=B才有解。
（4）将A中三列向量组合，是否每个向量都对组合有所贡献？
A中第三列是有第一列和第二列线性组合（相加）得到的，这两列称为“主列”，第三列可忽略。这个空间可以描述为R^4中的二维子空间。
3.零空间
（1）A的零空间包含什么？
不包含右侧的向量b，包含X，包含AX=0中所有的解（x还是三个分量X1、X2、X3）。
（2）关心b=0时X的解
a).x属于R^3
b).列空间是R^4子空间
（3）求解
4.检验：AX=0的解构成一个子空间
5.A中b不为零，R^3可以构成向量空间？
答案：NO。基本的零向量都不满足。
第七课：求解Ax=0:主变量、特解
从定义转向使用算法解AX=0
1.消元、继续消元、得到关键的主元个数r，剩下n-r个自由变量。
第一步：
第二步：
第三步：梯形
主元个数：2，该数字称为矩阵的秩。
第四步：找出“主变量”，即主列、“自由列”
自由列：表示可以自由或任意分配数值。
因此，X2、X3可以任取值，然后只需求解X、1X3即可。
如下：分配给x2=1和x4=0
回代：得到x3=0,x1=-2
得到：一个解。
该向量的任意倍数是方程组的解
直线在零空间中，但它是整个零空间？NO。
自由变量可以任取。
这两个向量称为特解
其倍数解也在零空间上
两个特解的线性组合
零空间包含特解的线性组合。
每个自由度对应一个特解。
自由度的个数（M*N的矩阵）：r个主变量，有N-r个自由度。
r个主变量，表示只有r个方程起作用。
2.让矩阵看起来更干净：简化行阶梯形式
目前这个矩阵是阶梯形式矩阵，对其进一步化简，得到简化行阶梯形式。
第三行的0是因为行3是由行1行2的线性组合
向上消元：让主元上方都为0。因此简化行阶梯形式中，主元上下全为0。
a)开始消元
b)将主元简化为1
c)整个化简过程
d)进一步总结
e）用最简形式求解
f)单位阵、矩阵的自由部分
3.一般形式
a)求解RX=0
构造一个零空间矩阵（N），各列由特解组成。即：RN=O
b）总结得：
得：X主变量=-F*X自由度
4.实例
A的转置:
A的转置的简化形式：
秩：2
自由列：1
零空间:
R：
回代结果：
