分块矩阵的总结

前言：总结一下分块矩阵

我们可以对矩阵进行任意划分，叫做分块。

C= \left[ \begin{array}{c|c} A& B \\ \hline C& D \end{array} \right]

每个块的大小是任意的没有必要都是方阵

加法

如果是两个分块矩阵相加，只有相同划分的矩阵才能相加

数乘

\lambda C= \left[ \begin{array}{c|c} \lambda A& \lambda B \\ \hline \lambda C& \lambda D \end{array} \right]

与矩阵的数乘一模一样

乘法

如果是两个分块矩阵相加，只有相同划分的矩阵才能相乘

转置

假设我们有矩阵：

A = \left\{\begin{matrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{matrix}\right\}

可得：

A^T = \left\{\begin{matrix}A_1^T&A_3^T\\A_2^T&A_4^T\end{matrix}\right\}

分块对角阵（重点）

A = \left\{\begin{matrix}A_{1}&&&\\&A_{2}&&\\&&\ddots&\\&&&A_{n}\end{matrix}\right\}

其中 A_i 都是方阵其余位置为 0，称 A 为分块对角矩阵。

现在我们来说它的性质：

  • |A| = |A_1||A_2|\cdots|A_n|
  • A^{-1} = \left\{\begin{matrix}A_{1}^{-1}&&&\\&A_{2}^{-1}&&\\&&\ddots&\\&&&A_{n}^{-1}\end{matrix}\right\}

主对角线与副对角线上对角阵的总结：

其中第四条与第五条有一个口诀：

  • A B 分别求逆

  • C 替换为 -C

  • 与 C 同行左除（乘以逆）

  • 与 C 同列右除（乘以逆）

  • O 在主对角线不变，在副对角线对调

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