艾滋病检测里的贝叶斯公式

假设一个地区的艾滋病发病率是千分之一。
某种测试手段出现真阳性（确实患有hiv，且检查结果为阳性)概率为100%；出现假阳性（误诊为阳性） 概率为5%
如果目前有一个未知病史的人被测出 HIV 阳性，那么这个人真携带 HIV 的可能性是多少？
一个人的测试结果用A表示，一个是是否携带HIV用B表示，则题目可描述为：
已知， P(B=1) = \frac{1}{1000}, P(B=0) = \frac{999}{1000}
P(A=1|B=1) = 1, P(A=1|B=0)=\frac{5}{100}， 求P(B=1|A=1)=?
解：P(B=1|A=1) = \frac{P(A=1, B=1)}{P(A=1)} = \frac{P(A=1|B=1) * P(B=1)}{P(A=1)}
=\frac{P(B=1)}{P(A=1)}
又 一个人是否携带HIV是互斥事件，所以：
P(B=1|A=1) = 1 - P(B=0|A=1) = 1 - \frac{P(A=1|B=0)* P(B=0)}{P(A=1)}
设P(A=1)=x, 则:
\frac{P(B=1)}{x} = 1 - \frac{P(A=1|B=0) * P(B=0)}{x}
求得x = \frac{1019}{20000}, P(B=1|A=1) = \frac{20}{1019} \approx 0.02

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