乐理中的数学 课程分享59
这是通识选修课《社会科学与数学》第八讲《音乐与数学》的第二节，讨论乐理中的数学。
第八讲《音乐与数学》
第二节 乐理中的数学
1.乐谱的书写
如今人们记录音乐最常用的方法是简谱和五线谱,它们都与数学有密切的联系。有人开玩笑说, 学音乐不仅要会写前7个数，还要写到8。为什么呢？因为阿拉伯数字8在五线谱中也发挥着重要的作用,它常常在器乐谱中以移动八度记号出现。如果（图片1）
标记在五线谱的上方,那么虚线内的音符要移高一个八度演奏, 而标记在五线谱的下方,显然虚线内的音符要移低一个八度演奏。另外还要写到0,因为在简谱中0表示休止符。
再看简谱和五线谱上,一般都会出现（图片2）
这样的标记 ,这种标记就是用来表示音乐进行的快慢的,即音乐的速度。比如,（图片3）
就表示以四分音符为单位拍, 每分钟60拍。
此外,在每一首乐曲的开头部分,我们总能看到一个分数,比如,2/4、3/4、3/8、6/8 等,这些分数是用来表示不同拍子的符号,即是音乐中的拍号(the Time Signature),其中分数的分子表示每小节单位拍的数目,分母表示单位拍的音符时值,即表示以几分音符为一拍。拍号一旦确定,那么每小节内的音符就要遵循由拍号所确定的拍数,这可以通过数学中的分数加法法则来检验。
比如,（图片4）
和（图片5）
就符合由拍号4/4和3/4分别所确定的拍数,因为1/2+1/4+1/4=4/4,1/2+1/8+1/8=3/4；而又因为1/16+1/2+(1/4+1/8)=15/16≠4/4,1/8+1/2=5/8≠3/4, 所以不符合由拍号4/4和3/4分别所确定的拍数。这些看似简单的要求正是音乐作曲的基础。
2.钢琴键盘上的数学
乐器之王钢琴键盘上恰好与斐波那契数列有关. 我们知道在钢琴的键盘上,从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程(如图1)。其中共包括13个键,有8个白键和5个黑键,而5个黑键分成2组,一组有2个黑键,一组有3个黑键。2、3、5、8、13恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数。
斐波那契数列：
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：（图片6）
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；
两个月后，生下一对小兔民数共有两对；
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；
………………
依次类推可以列出下表：
所经过月数：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12
兔子对数：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233
表中数字1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……构成了一个序列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
比萨的列奥纳多，又称斐波那契（Leonardo Pisano,Fibonacci,Leonardo Bigollo，1175年-1250年），意大利数学家，西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。（图片7）
斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、21、…… 从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为（又叫“比内公式”）： （图片8）
有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
3.音乐中的等比数列
如果说斐波那契数在钢琴键上的出现是一种巧合, 那么等比数列在音乐中的出现就决非偶然了：1、2、3、4、5、6、7、i等音阶就是利用等比数列规定的。看图1,显然这个八度音程被黑键和白键分成了12个半音,并且我们知道下一个C键发出乐音的振动次数(即频率)是第一个C键振动次数的2倍,因为用2来分割,所以这个划分是按照等比数列而作出的。
斐波那契数列与黄金比：
1/1=1，
2/1=2，
3/2=1.5，
5/3=1.6，
8/5=1.6，
…………
89/55=1.61818，
…………
233/144=1.618055，
…………
随着数列项数的增加，后一项与前一项之比越来越逼近黄金分割的数值1.6180339887……
4.音乐中的数学变换
数学中存在着平移变换,音乐中是否也存在着平移变换呢？我们可以通过（图片2）的两个音乐小节来寻找答案。显然可以把第一个小节中的音符平移到第二个小节中去,就出现了音乐中的平移,这实际上就是音乐中的反复。
把（图2）的两个音节移到直角坐标系中,那么就表现为（图3）。
显然,这正是数学中的平移。
我们知道作曲者创作音乐作品的目的在于想淋漓尽致地抒发自己内心情感,可是内心情感的抒发是通过整个乐曲来表达的,并在主题处得到升华,而音乐的主题有时正是以某种形式的反复出现的。比如,（图4）就是西方乐曲《When the Saints Go Marching In》的主题,显然,这首乐曲的主题就可以看作是通过平移得到的。
如果我们把五线谱中的一条适当的横线作为时间轴(横轴x),与时间轴垂直的直线作为音高轴(纵轴y),那么我们就在五线谱中建立了时间-音高的平面直角坐标系。于是,图4中一系列的反复或者平移,就可以用函数近似地表示出来,如图5所示,其中x是时间,y是音高。当然我们也可以在时间-音高的平面直角坐标系中用函数把图2中的两个音节近似地表示出来。
音乐中不仅仅只出现平移变换,可能会出现其他的变换及其组合,比如反射变换等等。图6的两个音节就是音乐中的反射变换。如果我们仍从数学的角度来考虑,把这些音符放进坐标系中,那么它在数学中的表现就是我们常见的反射变换,如图7所示。同样我们也可以在时间-音高直角坐标系中把这两个音节用函数近似地表示出来。
通过以上分析可知,一首乐曲就有可能是对一些基本曲段进行各种数学变换的结果。
