这篇文章中我想讨论的是我们从小学一年级到六年级所学习的数系。从小学一年级到六年级接一定触了许多数系，从先后顺序来分类大概是这几类:自然数；小数；分数；负数。也许有人会认为数字都是凭空出现的，或者是为了做题而诞生的，为了纠正这一观点，今天我就来好好讨论一下这四类数。看一看他们是如何诞生的，如何比大小，如和四则运算，实际应用。
自然数
诞生
在古时候，人们以打猎生活。最开始代表自然数的就是一个个结，人们为了规划自己的生存、规划每天需要打多少头羊、或者统计一共打了几只羊，就会用结绳记事 。比如打一只羊就系一个小结；打三只羊就系三个小结。如果打100头羊呢？难道要系100个结么？明显不可能。于是人们规定如果打到十头羊就系一个大结。打100头羊也就是系十个大结。打13头羊也就是系一个大结外加三个小结。
后来，随着技术的发展，人们打到的不再是以几只羊，或几十只。而是成千上万的羊，因此就不能再接着用系结的方式来统计了，于是，全世界人都发明了属于他们自己的数字，比如中国发明的一和二(上面的图片代表一，下面的图片代表二)
后来阿拉伯人发明的阿拉伯数字，便成为了现在的普遍，通用数字。
这是关于数字的"型"的变化，接下来我要说一说的是关于数字的意义的变化。
本来数字都是用来代表实际生活中的东西，但是到了后来，数字慢慢被抽象化了，变成了不代表任何实际意义。比如，1最开始可能本来代表的就是一块儿蛋糕或者一只羊，就像我上面说举的例子，中国人创造的一可能代表的就是一根木条。可是，现在1只代表1，而没有其他的任何意义。除非你把它引入到实际生活中，比如把它加上单位，如:1(头)；1(块)。总结一下，自然数有两大变化，一个是型，一个是意义，自然数意义的变化是从本来代表实际生活中的任意一个东西变成了不代表任何实际生活中的物体；自然数的形是从古数字变成了现在的阿拉伯数字。如今，自然数在生活中非常常见，比如去超市买东西的时候，一支铅笔八块钱，一块儿橡皮四块钱等。或者1朵花；2个蛋糕；3块儿饼。那么，自然数如何诞生也就显而易见了。很明显自然数源于生活。
比大小
既然自然数是一个数系，又可以在实际生活中运用，自然数肯定有大小，那么自然数应该如何比大小呢？可以再次引入我最开始所说的自然数的诞生，比如我打了五头羊，你打了三头羊，谁打的羊多呢？明显是我打的多。也就是五个羊比三个羊多，把它变成数字也就是5>3。要是如果每次要比较两个数字的大小都要引入到实际生活中太麻烦，那么，是否有什么更加简单的方法呢？明显有。我们可以用画数轴的方法来证号码这一点。什么是数轴呢？数轴就是一条有方向的直图线，我们要规定起始点0和正方向(右)，五的位置是从零开始向右跳跳舞，个一跳到的第五个新位置是五，三的位置是，从零开始向右跳，跳三个一，跳到的第三个新位置是三。每一个自然数在数轴上都有奇数性质和叙数性质。比如五的奇数性质是:五的大小是五；叙数性质的意思是:五在数轴上所在的位置是第五个新位置。数轴的另一个基本性质是:每一个数在数轴上都对应一个位置 ，这个数在数轴上所对应的位置越靠右，这个数越大。这个数在数轴上的位置越靠左，这个数字越小 。
请大家再看一看我上面画的数轴，可见，5>3.这就是自然数比大小的原则。
四则运算
加
自然数如何进行加法运算呢？如:3+5=？可以用棋子来代表三和五，也就是三颗棋子加五颗棋子，你可以自己数一数，会发现最后一共有八颗棋子。因此，3+5=8。当然我们仍然可以用跳数轴方法来解决3+5的问题。(如下图)
当然，在计算加法算式的时候，也会有很多规律，比如，3+5=5+3，这叫加法交换率，验证方法是你可以算一算这两个算式的最后结果是否相等。
还有加法结合率，如:1+2+3=1+(2+3)，(我所用的小括号的意思是先计算里面的数字)。那么，这一个等式是否成立呢？明显成立，因为不管先让哪个加数加上另一个加数，都是这三个加数相加，所以，加法结合律也是正确的。
那么我们要在什么情况下运用加法交换律和结合律呢？比如:1+2+8=？如果根据从左往右来计算这个算式，会发现这个算是最后变成了3+8，这可不是非常简单。所以，我可以用加法结合律把这个算式变成1+2+8=1+(2+8)，2+8非常好算，可以得出其结果为10，于是，我们就将 1+2+8 这个算式变成了1+10。
交换率也非常常见，还是以1+2+8个算式为例，如果不用结合律，如何把这个算式变得仍然很简单呢？是的，这里就可以用到交换律，把这个算式变成2+8+1，根据从左往右，要先计算2+8再加1，就变成了10+1。所以，当计算一个加法算式的时候，一定不能直接按照从左往右算的算理来计算，而是要发现每个加数和加数之间是否有什么规律可以使这个算式变得更简单。
减
我们应该如何计算8-5这个减法算式？仍然可以带入棋子的方法。我本来有八颗棋子，你拿走五颗棋子，我还剩几颗棋子？是的，你可以实际操作并且数一数最后你剩多少 你会发现，你还剩三颗。
当然，还是可以用数轴来计算。(如下图)
当我们在计算减法算式的时候，也是有规律的。比如20-5-2-3，如果直接从左往右算不是一个非常简便的方法，那么是否可以先计算出所有减数的和，再让被减数减去减数和呢？明显可以，因为先计算出了减一数和，并没有把他从减数变成了加数，就是说计算出减数和这一过程，并没有把减数的性质改变，所以这一规律是成立的。不过人们并没有为这一类规律命名，可以叫它“减数结合律”那么，20-5-2-3这个算式就变成20-10。
当然，计算一个减法算式不仅仅只有这一个规律，比如38-5-18，当然不能直接从左往右算，因为你会发现38和减数18的个位是一样的，所以可以将这个算式变成38-18-5。这样便也是没有问题的，因为我并没有改变减数的性质，比如把它从减变成加。可以暂时叫它“减数交换率”
加减互逆
加法和减法是否有什么关系？是毫无关系呢？或者说，你是否能根据一个加法算式来得出两个减法算式和一个加法算式呢？是的，以3+5为例，3+5=8，根据加法交换律，可以把这个算式变成5+3=8，但我们会发现8-3=5这个减法算式和这两个加法算式也是对应的，那么8-5=3也是如此。这就是加减互逆。
乘
2*4应该如何计算？首先得了解一下乘法的意义，乘法有两种含义，第一种意义是:a的b倍，第二种意义是:a个b相加。那么，应该如何计算2×4呢？可以用乘法的第二种含义，因为我们知道自然数的加法，可以把2×4变成2+2+2+2，那么其结果也就是8。当然我们也可以用棋子，两个棋子为一个集合，现在有四个这样的集合，请问一共有几个棋子呢？是的，一共有八个棋子。
除
8÷2=？首先应该了解一下除法的含义，除法有两种含义，第一种含义是把几平均分成几份，叫做平均分；二种含义是，几里面包含了几个几，叫做包含除。在解8÷2这个问题的时候，可以先用包含除，那么，八里边包含几个二呢？2ⅹ4=8，8里面包含4个2，8÷2=4。当然也可以用棋子来代表平均分，八个棋子为一个大集合 把这个大集合平均分成两份，每一个集合有几颗棋子呢？有四颗。
实际应用
自然数的实际应用分三大类，一类是价格模型；第二类是路程模型；第三类是工程模型。价格模型的关系式是:单价乘数量等于总价；总价除以数量等于单价；总价除以单价等于数量。
路程模型的关系式是:速度乘时间等于路程；路程除以时间等于速度；路程除以速度等于时间。
工程模型的关系式是:工作效率乘以工作时间等于工作总量；工作总量除以工作效率等于工作时间；工作总量除以工作时间等于工作的效率。
小数
诞生
小数是如何诞生的？是的，比如用一个长为1m的木棍量你家中的一些物品，会发现有些东西刚好1m，有些不足1m，有些比1m长却不足两米，我我们应该如何用m为单位表述这些不足1m和比1m长却不足2m的物品呢？这里古人就发明了小数。也就是，古人把1m平均分成十份，其中的一份是，1/10m，也是0.1m，还是一分米。小数就是这样诞生的。
比大小
小数的比大小其实和自然数的比大小是完全一样的，唯一不同的是要看你要在数轴上找到的小数的位置的单位是多少，这里的单位不是生活中的单位，而是位值置(如下图。竖着看)
个 小 十 百 千 万
数 分 分 分 分
位 点 位 位 位 位
1 . 1 1 1 1
当然，每次要在轴上找小数的对应点的时候都需要定义它的单位，如找0.1就要定义0.1，找0.07就要定义0.01。
四则运算
加
小数的四则运算和自然数是基本相等，不过我们在计算小数相加的时候如果要用竖式，得需要对位，就是让十分位加十分位百分位加百分位，不能让十分位加百分位百分位加十分位。
减
小数的减法和加法也是基本相同，当用竖式计算小数减法的时候需要对位。比如0.7-0.1，十分位减十分位，十分位上的数字也就是六，然后再让个个位减个位，个位上就是零。所以及结果也就是0.6
乘
计算小数乘法的时候 我们可以把它带入到实际生活的求面积问题中，比如0.1×0.4， 有一个长为0.4m，宽为0.1m的长方形，我可以把他的单位换一换，换成四分米和一分米，变成了4×1，4*1=4dm²，4dm²=0.04m²。所以0.1×0.4=0.04。
除
在计算小数除法的时候，仍然要把它带入到实际生活，就像我们在计算乘法问题的时候一样 。
实际应用
小数的实际应用的类型和自然数差不多，还有一个新增的就是求面积问题，也就是和小数乘法有关的。
分数
诞生
分数的诞生其实和小数的诞生是基本相似的，都是古人在测量或者计算某些东西的时候发现已有的测量单位不够，所以发明了分数和小数。如1/10m=0 1m=1dm。
比大小
分数如何在数轴上找到其对应位置呢？可以把分数转化成小数，然后找到数轴上所对应的小数。
四则运算
加
1/2+1/2 =？
如果把1/2带入到实际生活中，那么1/2代表着把一块儿蛋糕平均分成两份，其中的一份占整体的1/2，现在有两个半个蛋糕，一共有几个蛋糕呢？是的，有一块儿。所以，1/2+1/2 =1
1/4+2/4=？
如果把1/4+2/4带入到实际生活中，1/4代表着把一块儿蛋糕平均分成四份，其中的一份占整体的1/4。2/4代表着把一块儿蛋糕平均分成四份，其中的两份占整体的2/4，那么我们把1/4块儿蛋糕加上2/4块儿蛋糕，发现一共有3/4块蛋糕，就是说，1/4+2/4=3/4。从这个算式中我们可以看出，分数加法也就是分母不变分子相加，不过如果有两个分母不同的分数相加，只要通分就可以了。
减
分数减法其实和分数加法是一样的，我们计算的时候只不过变成了分子相减，分母不变。当然，如果遇到两个分母不同的分数，仍然可以通分。
乘
3/10×1/2=？
可以把1/3和1/2变成小数来计算，变成了0.3ⅹ0.5，结果也就是0.15。
我们可以用画图的方法来计算:
可见，其结果是3/20。从以上算式可见，小数乘法的规律是分母乘分母，分子乘分子
除
计算分数除法的时候 我们仍然可以把分数变成小数来计算，后来我们也可以用分数的基本性质来把它变得简单一点儿。如下图:
会发现最后的结果的分母好像就是除数的分母乘以除数的分子，而结果的分子则是被除数的分子乘以除数的分母。所以我们可以推断，再计算一个分数除发问题的时候等于除以这个除数的倒数。
实际应用
乘
几分之几乘以几分之几，如1/2×1/3
连乘，如1/2×1/3×1/4×1/5
以知这一个数，比这个数多(少)几分之几是多少？如比2/3多(少)1/2的数是多少？
除
这一个数的几分之几是多少，求这个数本身。如:( )ⅹ1/2=1/3
已知一个数的几分之几的几分之几是多少，求这个数本身。如:( )ⅹ1/2ⅹ1/4=1/3
这比一个数少(多)几分之几的数是多少，求这个数本身。
负数
诞生
比如我花出去100块钱，我应该如何在我的账本上记下来呢？不能直接写上100，因为这样容易产生误解，所以这么就发明了负数，就是花出去100块钱就在账本上写-100。
比大小
-1，-2，-7
可见，-1>-2>-7，就是说负数的比大小的原则是去掉负号的位置上的数越大，这个负数越小 。
四则运算
加
-1+(-2)=？
加一个正数向右跳，加一个负数也就是向左跳，这样，加一个负数等于减去它的相反数。
因此-1+(-2)=-3
减
-2-(-1)
我们知道减一个正数向左跳 ，那么，减去一个负数就是向右跳，是减去一个负数等于加上它的相反数。也就是:-2-(-1)=-1
乘
-1*-2=？
我们大家肯定都听过一句话，就是负负得正，因此两个复数相乘也就等于他们俩的相反数相乘。因此，-2*-1=2*1=2。
除
除法和乘法是基本相等的，同样是负数除以一个负数等于他们俩的相反数相除。
实际应用
负数的实际应用其实与自然数是基本相等的，无非是一些能提到负数的实际生活中的问题，大概没有什么特别的规律。因为负数在实际生活中也不是非常常见。
