矩阵求导术(上)

对原文进行了重新整理排版:
转自知乎长躯鬼侠的专栏,(根据我的推测作者本科是清华大学电子工程系,现在卡内基梅隆大学(世界第一CS大学)计算机工程学博士生),在此献上我的膝盖.
原文地址:https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748

正文:

矩阵求导的技术，在统计学、控制论、机器学习等领域有广泛的应用。鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪，本文来做个科普，分作两篇，上篇讲标量对矩阵的求导术，下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 $x$ 表示（列）向量，大写字母 $X$ 表示矩阵。

首先来琢磨一下定义，标量f对矩阵X的导数，定义为

$\frac{\partial f}{\partial X} = \left[\frac{\partial f }{\partial X_{ij}}\right]$

即f对 $X$ 逐元素求导排成与 $X$ 尺寸相同的矩阵。然而，这个定义在计算中并不好用，实用上的原因是对函数较复杂的情形难以逐元素求导；哲理上的原因是逐元素求导破坏了整体性。试想，为何要将f看做矩阵 $X$ 而不是各元素 $X_{ij}$ 的函数呢？答案是用矩阵运算更整洁。所以在求导时不宜拆开矩阵，而是要找一个从整体出发的算法。

为此，我们来回顾，一元微积分中的导数（标量对标量的导数）与微分有联系：

$df = f'(x)dx$

多元微积分中的梯度（标量对向量的导数）也与微分有联系：

$df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i = \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}^T d\boldsymbol{x}$

这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了梯度与微分的联系：全微分 $df$ 是梯度向量 $\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}(n×1)$ 与微分向量 $d\boldsymbol{x}(n×1)$ 的内积

受此启发，我们将矩阵导数与微分建立联系：

$df = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial X_{ij}}dX_{ij} = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$

其中 $tr$ 代表迹(trace)是方阵对角线元素之和，满足性质：对尺寸相同的矩阵A,B， $\text{tr}(A^TB) = \sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$ ，即 $\text{tr}(A^TB)$ 是矩阵 $A$ , $B$ 的内积。与梯度相似，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了矩阵导数与微分的联系：全微分 $df$ 是导数 $\frac{\partial f}{\partial X}(m×n)$ 与微分矩阵 $dX(m×n)$ 的内积。

运算法则

然后来建立运算法则。回想遇到较复杂的一元函数如 $f = \log(2+\sin x)e^{\sqrt{x}}$ ，我们是如何求导的呢？通常不是从定义开始求极限，而是先建立了初等函数求导和四则运算、复合等法则，再来运用这些法则。故而，我们来创立常用的矩阵微分的运算法则：

加减法： $d(X\pm Y) = dX \pm dY$ ；矩阵乘法： $d(XY) = (dX)Y + X (dY)$ ；转置： $d(X^T) = (dX)^T$ ；迹： $d\text{tr}(X) = \text{tr}(dX)$ 。
逆： $dX^{-1} = -X^{-1}dX X^{-1}$ 。此式可在 $XX^{-1}=I$ 两侧求微分来证明。
行列式： $d|X| = \text{tr}(X^{\#}dX)$ ，其中 $X^{\#}$ 表示 $X$ 的伴随矩阵，在 $X$ 可逆时又可以写作 $d|X|= |X|\text{tr}(X^{-1}dX)$ 。此式可用Laplace展开来证明，详见张贤达《矩阵分析与应用》第279页。
逐元素乘法： $d(X\odot Y) = dX\odot Y + X\odot dY$ ， $\odot$ 表示尺寸相同的矩阵 $X$ , $Y$ 逐元素相乘。
逐元素函数： $d\sigma(X) = \sigma'(X)\odot dX$ ， $\sigma(X) = \left[\sigma(X_{ij})\right]$ 是逐元素标量函数运算， $\sigma'(X)=[\sigma'(X_{ij})]$ 是逐元素求导数。举个例子，

$X=\left[\begin{matrix}x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22}\end{matrix}\right], d \sin(X) = \left[\begin{matrix}\cos x_{11} dx_{11} & \cos x_{12} d x_{12}\\ \cos x_{21} d x_{21}& \cos x_{22} dx_{22}\end{matrix}\right] = \cos(X)\odot dX$

迹技巧

我们试图利用矩阵导数与微分的联系 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$ ，在求出左侧的微分 $df$ 后，该如何写成右侧的形式并得到导数呢？这需要一些迹技巧(trace trick)：

标量套上迹： $a = \text{tr}(a)$
转置： $\mathrm{tr}(A^T) = \mathrm{tr}(A)$ 。
线性： $\text{tr}(A\pm B) = \text{tr}(A)\pm \text{tr}(B)$ 。
矩阵乘法交换： $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ ，其中 $A$ 与 $B^T$ 尺寸相同。两侧都等于 $\sum_{i,j}A_{ij}B_{ji}$ 。
矩阵乘法/逐元素乘法交换： $\text{tr}(A^T(B\odot C)) = \text{tr}((A\odot B)^TC)$ ，其中 $A$ , $B$ , $C$ 尺寸相同。两侧都等于 $\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}C_{ij}$ 。

观察一下可以断言，若标量函数f是矩阵 $X$ 经加减乘法、逆、行列式、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对f求微分，再使用迹技巧给 $df$ 套上迹并将其它项交换至 $dX$ 左侧，对照导数与微分的联系 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$ ，即能得到导数。

特别地，若矩阵退化为向量，对照导数与微分的联系 $df = \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}^T d\boldsymbol{x}$ ，即能得到导数。

在建立法则的最后，来谈一谈复合：假设已求得 $\frac{\partial f}{\partial Y}$ ，而 $Y$ 是 $X$ 的函数，如何求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 呢？在微积分中有标量求导的链式法则 $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x}$ ，但这里我们不能随意沿用标量的链式法则，因为矩阵对矩阵的导数 $\frac{\partial Y}{\partial X}$ 截至目前仍是未定义的。于是我们继续追本溯源，链式法则是从何而来？源头仍然是微分。我们直接从微分入手建立复合法则：先写出 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^T dY\right)$ ，再将 $dY$ 用 $dX$ 表示出来代入，并使用迹技巧将其他项交换至 $dX$ 左侧，即可得到 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。

最常见的情形是 $Y = AXB$ ，此时

$df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^T dY\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^T AdXB\right) = \text{tr}\left(B\frac{\partial f}{\partial Y}^T AdX\right) = \text{tr}\left((A^T\frac{\partial f}{\partial Y}B^T)^T dX\right)$

可得到

$\frac{\partial f}{\partial X}=A^T\frac{\partial f}{\partial Y}B^T$ 。

例子

接下来演示一些算例。特别提醒要依据已经建立的运算法则来计算，不能随意套用微积分中标量导数的结论，比如认为AX对X的导数为A，这是没有根据、意义不明的。

例1：

$f = \boldsymbol{a}^T X\boldsymbol{b}$ ，求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。其中 $\boldsymbol{a}$ 是 $m\times 1$ 列向量， $X$ 是 $m\times n$ 矩阵 $，\boldsymbol{b}$ 是 $n×1$ 列向量，f是标量。

解：

先使用矩阵乘法法则求微分， $df = d\boldsymbol{a}^TX\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}^TdX\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}^TXd\boldsymbol{b}$ ，注意这里的 $\boldsymbol{a}$ , $\boldsymbol{b}$ 是常量， $d\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$ , $d\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$ ，得到： $df = \boldsymbol{a}^T dX\boldsymbol{b}$ 。

由于 $df$ 是标量，它的迹等于自身， $df = \text{tr}(df)$ ，套上迹并做矩阵乘法交换： $df = \text{tr}(\boldsymbol{a}^TdX\boldsymbol{b}) = \text{tr}(\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}^TdX)$ ，注意这里我们根据 $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ 交换了 $\boldsymbol{a}^TdX$ 与 $\boldsymbol{b}$ 。

对照导数与微分的联系 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$ ，得到 $\frac{\partial f}{\partial X} = (\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}^T)^T= \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^T$ 。

注意：这里不能用 $\frac{\partial f}{\partial X} =\boldsymbol{a}^T \frac{\partial X}{\partial X}\boldsymbol{b}=?$ ，导数与矩阵乘法的交换是不合法则的运算（而微分是合法的）。有些资料在计算矩阵导数时，会略过求微分这一步，这是逻辑上解释不通的。

例2：

$f = \boldsymbol{a}^T \exp(X\boldsymbol{b})$ ，求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。其中 $\boldsymbol{a}$ 是 $m×1$ 列向量， $X$ 是 $m\times n$ 矩阵， $\boldsymbol{b}$ 是 $n×1$ 列向量， $exp$ 表示逐元素求指数，f是标量。

解：

先使用矩阵乘法、逐元素函数法则求微分： $df = \boldsymbol{a}^T(\exp(X\boldsymbol{b})\odot (dX\boldsymbol{b}))$

再套上迹并做交换：

$df = \text{tr}( \boldsymbol{a}^T(\exp(X\boldsymbol{b})\odot (dX\boldsymbol{b}))) =\text{tr}((\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol{b}))^TdX \boldsymbol{b}) = \text{tr}(\boldsymbol{b}(\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol{b}))^TdX)$

注意这里我们先根据 $\text{tr}(A^T(B\odot C)) = \text{tr}((A\odot B)^TC)$ 交换了 $\boldsymbol{a}$ 、 $\exp(X\boldsymbol{b})$ 与 $dX\boldsymbol{b}$ ，再根据 $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ 交换了 $(\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol{b}))^TdX$ 与 $\boldsymbol{b}$ 。

对照导数与微分的联系 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$ ，得到

$\frac{\partial f}{\partial X} = (\boldsymbol{b}(\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol{b}))^T)^T= (\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol{b}))\boldsymbol{b}^T$

例3:

$f = \text{tr}(Y^T M Y), Y = \sigma(WX)$ ，求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。其中 $W$ 是 $l×m$ 列向量， $X$ 是 $m\times n$ 矩阵， $Y$ 是 $l\times n$ 矩阵， $M$ 是 $l×l$ 对称矩阵， $\sigma$ 是逐元素函数，f是标量。

解：

先求 $\frac{\partial f}{\partial Y}$ ，求微分，使用矩阵乘法、转置法则： $df = \text{tr}((dY)^TMY) + \text{tr}(Y^TMdY) = \text{tr}(Y^TM^TdY) + \text{tr}(Y^TMdY) = \text{tr}(Y^T(M+M^T)dY)$ ，对照导数与微分的联系，得到 $\frac{\partial f}{\partial Y}=(M+M^T)Y = 2MY$ ，这里 $M$ 是对称矩阵。

为求 $\frac{\partial f}{\partial X}，写出df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^T dY\right)$ ，再将 $dY$ 用 $dX$ 表示出来代入，并使用矩阵乘法/逐元素乘法交换： $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^T (\sigma'(WX)\odot (WdX))\right) = \text{tr}\left(\left(\frac{\partial f}{\partial Y} \odot \sigma'(WX)\right)^T W dX\right)$ ，对照导数与微分的联系，得到 $\frac{\partial f}{\partial X}=W^T \left(\frac{\partial f}{\partial Y}\odot \sigma'(WX)\right)=W^T((2M\sigma(WX))\odot\sigma'(WX))$ 。

例4【线性回归】：

$l = \|X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y}\|^2$ ，求 $\boldsymbol{w}$ 的最小二乘估计，即求 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}$ 的零点。其中 $\boldsymbol{y}$ 是 $m×1$ 列向量， $X$ 是 $m\times n$ 矩阵， $\boldsymbol{w}$ 是 $n×1$ 列向量，l是标量。

解：

这是标量对向量的导数，不过可以把向量看做矩阵的特例。

先将向量模平方改写成向量与自身的内积： $l = (X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y})^T(X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y})$

求微分，使用矩阵乘法、转置等法则：

$dl = (Xd\boldsymbol{w})^T(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})+(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^T(Xd\boldsymbol{w}) = 2(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^TXd\boldsymbol{w}。$

对照导数与微分的联系 $dl = \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}^Td\boldsymbol{w}$ ，得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}= (2(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^TX)^T = 2X^T(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})$ 。

$\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}的零点即\boldsymbol{w}$ 的最小二乘估计为 $\boldsymbol{w} = (X^TX)^{-1}X^T\boldsymbol{y}$ 。

例5【方差的最大似然估计】：

样本 $\boldsymbol{x}_1,\dots, \boldsymbol{x}_N \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)$ ，求方差 $\Sigma$ 的最大似然估计。

写成数学式是： $l = \log|\Sigma|+\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})$ ，求 $\frac{\partial l }{\partial \Sigma}$ 的零点。其中 $\boldsymbol{x}_i$ 是 $m\times 1$ 列向量， $\bar{\boldsymbol{x}}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \boldsymbol{x}_i$ 是样本均值， $\Sigma是m\times m$ 对称正定矩阵，l是标量， $log$ 表示自然对数。

解：
首先求微分，使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则，

第一项是 $d\log|\Sigma| = |\Sigma|^{-1}d|\Sigma| = \text{tr}(\Sigma^{-1}d\Sigma)$
第二项是 $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^Td\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}}) = -\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})$ 。

再给第二项套上迹做交换：
$\text{tr}\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})\right)$ = $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \text{tr}((\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1} d\Sigma \Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}}))$ = $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\text{tr}\left(\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\right)=\text{tr}(\Sigma^{-1}S\Sigma^{-1}d\Sigma)$ ，

其中先交换迹与求和，然后将 $\Sigma^{-1} (\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})$ 交换到左边，最后再交换迹与求和，并定义 $S = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T$ 为样本方差矩阵。
得到 $dl = \text{tr}\left(\left(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1}S\Sigma^{-1}\right)d\Sigma\right)$ 。对照导数与微分的联系，有 $\frac{\partial l }{\partial \Sigma}=(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1}S\Sigma^{-1})^T$ ，其零点即 $\Sigma$ 的最大似然估计为 $\Sigma = S$ 。

例6【多元logistic回归】：

$l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(W\boldsymbol{x})$ ，求 $\frac{\partial l}{\partial W}$ 。其中 $\boldsymbol{y}$ 是除一个元素为1外其它元素为0的 $m×1$ 列向量， $W$ 是 $m\times n$ 矩阵， $\boldsymbol{x}$ 是 $n×1$ 列向量，l是标量； $log$ 表示自然对数， $\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \frac{\exp(\boldsymbol{a})}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})}$ ，其中 $\exp(\boldsymbol{a})$ 表示逐元素求指数， $\boldsymbol{1}$ 代表全1向量。

解1：

首先将softmax函数代入并写成 $l = -\boldsymbol{y}^T \left(\log (\exp(W\boldsymbol{x}))-\boldsymbol{1}\log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))\right)$ = $-\boldsymbol{y}^TW\boldsymbol{x} + \log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))$ ，这里要注意逐元素log满足等式 $\log(\boldsymbol{u}/c) = \log(\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{1}\log(c)$ ，以及 $\boldsymbol{y}$ 满足 $\boldsymbol{y}^T \boldsymbol{1} = 1$ 。

求微分，使用矩阵乘法、逐元素函数等法则： $dl =- \boldsymbol{y}^TdW\boldsymbol{x}+\frac{\boldsymbol{1}^T\left(\exp(W\boldsymbol{x})\odot(dW\boldsymbol{x})\right)}{\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x})}$ 。

再套上迹并做交换，注意可化简 $\boldsymbol{1}^T\left(\exp(W\boldsymbol{x})\odot(dW\boldsymbol{x})\right) = \exp(W\boldsymbol{x})^TdW\boldsymbol{x}$ ，这是根据等式 $\boldsymbol{1}^T (\boldsymbol{u}\odot \boldsymbol{v}) = \boldsymbol{u}^T \boldsymbol{v}$ ，

故 $dl = \text{tr}\left(-\boldsymbol{y}^TdW\boldsymbol{x}+\frac{\exp(W\boldsymbol{x})^TdW\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x})}\right)$
= $\text{tr}(-\boldsymbol{y}^TdW\boldsymbol{x}+\text{softmax}(W\boldsymbol{x})^TdW\boldsymbol{x})$
= $\text{tr}(\boldsymbol{x}(\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})^TdW)$ 。

对照导数与微分的联系，得到 $\frac{\partial l}{\partial W}= (\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})\boldsymbol{x}^T$ 。

解2：

定义 $\boldsymbol{a} = W\boldsymbol{x}$ ，则 $l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(\boldsymbol{a})$ ，先同上求出 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}} = \text{softmax}(\boldsymbol{a})-\boldsymbol{y}$ ，再利用复合法则： $dl = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^Td\boldsymbol{a}\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^TdW \boldsymbol{x}\right) = \text{tr}\left(\boldsymbol{x}\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^TdW\right)$ ，
得到 $\frac{\partial l}{\partial W}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}}\boldsymbol{x}^T$ 。

最后一例留给经典的神经网络。神经网络的求导术是学术史上的重要成果，还有个专门的名字叫做BP算法，我相信如今很多人在初次推导BP算法时也会颇费一番脑筋，事实上使用矩阵求导术来推导并不复杂。为简化起见，我们推导二层神经网络的BP算法。

例7【二层神经网络】：

$l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(W_2\sigma(W_1\boldsymbol{x}))$ ，求 $\frac{\partial l}{\partial W_1}$ 和 $\frac{\partial l}{\partial W_2}$ 。其中 $\boldsymbol{y}$ 是除一个元素为1外其它元素为0的的 $m×1$ 列向量， $W_2$ 是 $m\times p$ 矩阵， $W_1$ 是 $p \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{x}$ 是 $n×1$ 列向量，l是标量； $log$ 表示自然对数， $\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \frac{\exp(\boldsymbol{a})}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})}$ 同上， $\sigma$ 是逐元素sigmoid函数 $\sigma(a) = \frac{1}{1+\exp(-a)}$ 。

解：

定义 $\boldsymbol{a}_1=W_1\boldsymbol{x}$ ， $\boldsymbol{h}_1 = \sigma(\boldsymbol{a}_1)$ ， $\boldsymbol{a}_2 = W_2 \boldsymbol{h}_1$ ，则 $l =-\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(\boldsymbol{a}_2)$ 。在前例中已求出 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2} = \text{softmax}(\boldsymbol{a}_2)-\boldsymbol{y}$ 。

使用复合法则，
$dl$ = $\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^Td\boldsymbol{a}_2\right)$
= $\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^TdW_2 \boldsymbol{h}_1\right) + \underbrace{ \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^TW_2 d\boldsymbol{h}_1\right)}_{dl_2}$ ，

使用矩阵乘法交换的迹技巧从第一项得到 $\frac{\partial l}{\partial W_2}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_2}\boldsymbol{h}_1^T$ ，从第二项得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{h}_1}$ = $W_2^T\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_2}$ 。

接下来对第二项继续使用复合法则来求 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_1}$ ，并利用矩阵乘法和逐元素乘法交换的迹技巧：

$dl_2$ = $\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}^Td\boldsymbol{h}_1\right)$ = $\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}^T(\sigma'(\boldsymbol{a}_1)\odot d\boldsymbol{a}_1)\right)$ = $\text{tr}\left(\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}\odot \sigma'(\boldsymbol{a}_1)\right)^Td\boldsymbol{a}_1\right)$ ，

得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_1}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}\odot\sigma'(\boldsymbol{a}_1)$ 。为求 $\frac{\partial l}{\partial W_1}$ ，再用一次复合法则： $dl_2 = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^Td\boldsymbol{a}_1\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^TdW_1\boldsymbol{x}\right) = \text{tr}\left(\boldsymbol{x}\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^TdW_1\right)$ ，得到 $\frac{\partial l}{\partial W_1}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}\boldsymbol{x}^T$ 。

推广：

样本 $(\boldsymbol{x}_1, y_1), \dots, (\boldsymbol{x}_N,y_N)$ ， $l = -\sum_{i=1}^N \boldsymbol{y}_i^T\log\text{softmax}(W_2\sigma(W_1\boldsymbol{x}_i + \boldsymbol{b}_1) + \boldsymbol{b}_2)$ ，其中 $\boldsymbol{b}_1$ 是 $p \times 1$ 列向量， $\boldsymbol{b}_2$ 是 $m\times 1$ 列向量，其余定义同上。

解1：
定义 $\boldsymbol{a}_{1,i} = W_1 \boldsymbol{x}_i + \boldsymbol{b}_1$ ， $\boldsymbol{h}_{1,i} = \sigma(\boldsymbol{a}_{1,i})$ ， $\boldsymbol{a}_{2,i} = W_2\boldsymbol{h}_{1,i} + \boldsymbol{b}_2$ ，则 $l = -\sum_{i=1}^N \boldsymbol{y}_i^T \log \text{softmax}(\boldsymbol{a}_{2,i})$ 。

先同上可求出 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{2,i}} = \text{softmax}(\boldsymbol{a}_{2,i})-\boldsymbol{y}_i$ 。

使用复合法则， $dl$ = $\text{tr}\left(\sum_{i=1}^N\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{2,i}}^T d \boldsymbol{a}_{2,i}\right)$ = $\text{tr}\left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{2,i}}^T dW_2 \boldsymbol{h}_{1,i}\right) + \underbrace{\text{tr}\left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{2,i}}^T W_2 d\boldsymbol{h}_{1,i}\right)}_{dl_2} + \text{tr}\left( \sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{2,i}}^T d \boldsymbol{b}_2\right)$ ，

从第一项得到得到 $\frac{\partial l}{\partial W_2}= \sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_{2,i}}\boldsymbol{h}_{1,i}^T$ ，

从第二项得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{h}_{1,i}}= W_2^T\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_{2,i}}$ ，

从第三项得到到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{b}_2}= \sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_{2,i}}$ 。

接下来对第二项继续使用复合法则，得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{1,i}}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_{1,i}}\odot\sigma'(\boldsymbol{a}_{1,i})$ 。

为求 $\frac{\partial l}{\partial W_1}, \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{b}_1}$ ，

再用一次复合法则： $dl_2 = \text{tr}\left(\sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_{1,i}}^Td\boldsymbol{a}_{1,i}\right)$ = $\text{tr}\left(\sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_{1,i}}^TdW_1\boldsymbol{x}_i\right) + \text{tr}\left(\sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_{1,i}}^Td\boldsymbol{b}_1\right)$ ，

得到 $\frac{\partial l}{\partial W_1}= \sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_{1,i}}\boldsymbol{x}_i^T$ ， $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{b}_1}= \sum_{i=1}^N \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_{1,i}}$ 。

解2：

可以用矩阵来表示N个样本，以简化形式。
定义 $X = [\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_N]$ ， $A_1 = [\boldsymbol{a}_{1,1},\cdots,\boldsymbol{a}_{1,N}] =W_1 X + \boldsymbol{b}_1 \boldsymbol{1}^T$ ， $H_1 = [\boldsymbol{h}_{1,1}, \cdots, \boldsymbol{h}_{1,N}] = \sigma(A_1)$ ， $A_2 = [\boldsymbol{a}_{2,1},\cdots,\boldsymbol{a}_{2,N}] = W_2 H_1 + \boldsymbol{b}_2 \boldsymbol{1}^T$ ，注意这里使用全1向量来扩展维度。先同上求出 $\frac{\partial l}{\partial A_2} = [\text{softmax}(\boldsymbol{a}_{2,1})-\boldsymbol{y}_1, \cdots, \text{softmax}(\boldsymbol{a}_{2,N})-\boldsymbol{y}_N]$ 。

使用复合法则， $dl = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial A_2}^T d A_2\right)$ = $\text{tr}\left( \frac{\partial l}{\partial A_2}^T dW_2 H_1 \right) + \underbrace{\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial A_2}^T W_2 d H_1\right)}_{dl_2} + \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial A_2}^T d \boldsymbol{b}_2 \boldsymbol{1}^T\right)$ ，

从第一项得到 $\frac{\partial l}{\partial W_2}= \frac{\partial l}{\partial A_2}H_1^T$ ，
从第二项得到 $\frac{\partial l}{\partial H_1}= W_2^T\frac{\partial l}{\partial A_{2}}$ ，
从第三项得到到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{b}_2}= \frac{\partial l}{\partial A_2}\boldsymbol{1}$ 。

接下来对第二项继续使用复合法则，得到 $\frac{\partial l}{\partial A_1}= \frac{\partial l}{\partial H_1}\odot\sigma'(A_1)$ 。

为求 $\frac{\partial l}{\partial W_1}$ , $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{b}_1}$ ，再用一次复合法则： $dl_2 = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial A_1}^TdA_1\right)$ = $\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial A_1}^TdW_1X\right) + \text{tr}\left( \frac{\partial l}{\partial A_1}^Td\boldsymbol{b}_1 \boldsymbol{1}^T\right)$ ，得到 $\frac{\partial l}{\partial W_1}= \frac{\partial l}{\partial A_1}X^T$ ， $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{b}_1}= \frac{\partial l}{\partial A_1}\boldsymbol{1}$ 。