首次积分和行波法解偏微分方程

2017-1-11. 求方程的通解以及定解条件下的特解。

$\begin{align*} & x^2u_x+y^2u_y+z(2y-z)u_z=0 , \quad z>x>y>0 \\ & u=\frac{2z}{z-y} \quad \mathrm{when} \quad x=2y \end{align*}$

特征方程为 $\frac{\mathrm dx}{x^2}=\frac{\mathrm dy}{y^2}=\frac{\mathrm dz}{z(2y-z)}$

由 $\frac{\mathrm dx}{x^2}=\frac{\mathrm dy}{y^2}$ ，易得 $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=C_1$

根据等比定理，有 $\frac{\mathrm dy}{y^2}=\frac{\mathrm dy -\mathrm dz}{y^2-2zy+z^2}$ ，易得 $\frac{1}{y}-\frac{1}{y-z}=C_2$

所以，通解为 $u=F(\frac{1}{x}-\frac{1}{y} , \frac{1}{y}-\frac{1}{y-z})$ ， $F$ 为任意二元可微的函数。

由定解条件有， $u(2y,y,z)=F(\frac{1}{2y}-\frac{1}{y} , \frac{1}{y}-\frac{1}{y-z})=F(-\frac{1}{2y},\frac{1}{y}-\frac{1}{y-z})=\frac{2z}{z-y}$

令 $\xi =-\frac{1}{2y},\eta =\frac{1}{y}-\frac{1}{y-z}$

所以 $y=-\frac{1}{2\xi},z=\frac{1}{\eta +2\xi}-\frac{1}{2\xi}$

所以 $F(\xi,\eta)=-\frac{\eta}{\xi}$

所以，定解为 $u(x,y,z)=\frac{xz}{(x-y)(z-y)}$

2017-1-14. 求解下列柯西问题

$\begin{align*} & \sqrt y u_{xy}+2yu_{yy}+u_y=0 , \quad x>0 , y>0 \\ & u|_{y=4}=2, u_y|_{y=4}=-\frac{1}{4}, \quad 0 < x < 1 \end{align*}$

显然，上述偏微分方程的特征方程为
$-\sqrt y \mathrm dx \mathrm dy+2y(\mathrm dx)^2=0$
所以，积分曲线为
$\begin{cases} x=C_1 \\ x-\sqrt y =C_2 \end{cases}$
所以，作特征变换
$\begin{cases} \xi = x \\ \eta = x - \sqrt y \end{cases}$
易得，原微分方程化为 $-\frac{1}{2}u_{\xi \eta}=0$

通解为 $u=f(\xi)+g(\eta)$ ，代入定解条件可得，
$\begin{cases} f(x)+g(x-2)=2 \\ -\frac{1}{4}\frac{\mathrm dg(\eta)}{\mathrm d\eta}=-\frac{1}{4} \end{cases}$
易得 $g(\eta)=\eta+C,\quad -2<\eta<-1$