首次积分和行波法解偏微分方程

2017-1-11. 求方程的通解以及定解条件下的特解。

$\begin{align*} & x^2u_x+y^2u_y+z(2y-z)u_z=0 , \quad z>x>y>0 \\ & u=\frac{2z}{z-y} \quad \mathrm{when} \quad x=2y \end{align*}$

特征方程为 $\frac{\mathrm dx}{x^2}=\frac{\mathrm dy}{y^2}=\frac{\mathrm dz}{z(2y-z)}$

由 $\frac{\mathrm dx}{x^2}=\frac{\mathrm dy}{y^2}$ ，易得 $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=C_1$

根据等比定理，有 $\frac{\mathrm dy}{y^2}=\frac{\mathrm dy -\mathrm dz}{y^2-2zy+z^2}$ ，易得 $\frac{1}{y}-\frac{1}{y-z}=C_2$

所以，通解为 $u=F(\frac{1}{x}-\frac{1}{y} , \frac{1}{y}-\frac{1}{y-z})$ ， $F$ 为任意二元可微的函数。

由定解条件有， $u(2y,y,z)=F(\frac{1}{2y}-\frac{1}{y} , \frac{1}{y}-\frac{1}{y-z})=F(-\frac{1}{2y},\frac{1}{y}-\frac{1}{y-z})=\frac{2z}{z-y}$

令 $\xi =-\frac{1}{2y},\eta =\frac{1}{y}-\frac{1}{y-z}$

所以 $y=-\frac{1}{2\xi},z=\frac{1}{\eta +2\xi}-\frac{1}{2\xi}$

所以 $F(\xi,\eta)=-\frac{\eta}{\xi}$

所以，定解为 $u(x,y,z)=\frac{xz}{(x-y)(z-y)}$

2017-1-14. 求解下列柯西问题

$\begin{align*} & \sqrt y u_{xy}+2yu_{yy}+u_y=0 , \quad x>0 , y>0 \\ & u|_{y=4}=2, u_y|_{y=4}=-\frac{1}{4}, \quad 0 < x < 1 \end{align*}$

显然，上述偏微分方程的特征方程为
$-\sqrt y \mathrm dx \mathrm dy+2y(\mathrm dx)^2=0$
所以，积分曲线为
$\begin{cases} x=C_1 \\ x-\sqrt y =C_2 \end{cases}$
所以，作特征变换
$\begin{cases} \xi = x \\ \eta = x - \sqrt y \end{cases}$
易得，原微分方程化为 $-\frac{1}{2}u_{\xi \eta}=0$

通解为 $u=f(\xi)+g(\eta)$ ，代入定解条件可得，
$\begin{cases} f(x)+g(x-2)=2 \\ -\frac{1}{4}\frac{\mathrm dg(\eta)}{\mathrm d\eta}=-\frac{1}{4} \end{cases}$
易得 $g(\eta)=\eta+C,\quad -2<\eta<-1$

$f(\xi)=4-\xi-C,\quad 0<\xi<1$

所以， $u=4-\sqrt y,\quad 0 < x < 1,-2 < x-\sqrt y < -1$

2017-2-11. 求方程的通解以及定解条件下的特解。

$\begin{align*} & xyu_x-yu_y+(z+xe^y)u_z=0,\quad x>0,y>0,z>0 \\ & u=z \quad \mathrm{when} \quad y=1 \end{align*}$

同2017-1-11，中间需要用等比定理构造 $\frac{\mathrm dy}{-y}=\frac{e^y\mathrm dx+xe^y\mathrm dy+dz}{z+xe^y}$ ，最终易得

通解 $u=F(xe^y,y(z+xe^y))$

定解 $u=yz-(y-1)xe^y$

2017-2-14. 求解下列柯西问题

$\begin{align*} & 2\sqrt y u_{xy}+2yu_{yy}+u_y=0, \quad x>0 , y>0 \\ & u|_{y=4}=-2, u_y|_{y=4}=-\frac{1}{2}, \quad 0 < x < 1 \end{align*}$

同2017-2-14，易得 $u=2-2\sqrt y,\quad 0 < x < 1,-4 < x-2\sqrt y < -3$

2017-3-11. 求方程的通解以及定解条件下的特解。

$\begin{align*} & x(y+z)u_x+y(z-y)u_y+z(y-z)u_z=0 , \quad x>0 , z>y>0 \\ & u=x^2 \quad \mathrm{when} \quad z=2y \end{align*}$

同2017-1-11，中间需要用等比定理构造 $\frac{\mathrm dx}{x(y+z)}=\frac{\mathrm dz-\mathrm dy}{(z+y)(y-z)}$ ，最终易得

通解 $u=F(yz,x(z-y))$

定解 $u=\frac{2x^2(z-y)^2}{yz}$

2017-3-14. 求解下列柯西问题

$\begin{align*} & 3y^3 u_{xy}+yu_{yy}-2u_y=0, \quad x>0,y>0 \\ & u|_{y=1}=3, u_y|_{y=1}=-3, \quad 0 < x < 1 \end{align*}$

同2017-1-14，易得 $u=4-y^3,\quad 0 < x < 1,0 < y^3-x < 1$

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