高等代数理论基础37：集合·映射

集合·映射

集合

$a\in M$ , $a$ 是集合M的元素, $a\overline{\in}M$ , $a$ 不是集合M的元素

空集合

定义：不包含任何元素的集合称为空集合

集合相等

若两个集合M,N含有完全相同的元素,即 $a\in M\Leftrightarrow a\in N$ ,则称它们相等,记作 $M=N$

子集合

若集合M的元素全是集合N的元素,即 $a\in M\Rightarrow a\in N$ ,则称M为N的子集合,记作 $M\subset N$ 或 $N\supset M$

注：

1.每个集合都是它自身的子集合,空集是任一集合的子集合

2. $M\subset N,N\subset M\Rightarrow M=N$

交

既属于集合M又属于集合N的全体元素所成的集合称为M与N的交,记作 $M\cap N$

注： $M\cap N\subset M,M\cap N\subset N$

并

属于集合M或属于集合N的全体元素所成的集合称为M与N的并,记作 $M\cup N$

注： $M\cup N\supset M,M\cup N\supset N$

映射

映射 $\sigma$ 使元素 $a'\in M'$ 与元素 $a\in M$ 对应,记作 $\sigma(a)=a'$

$a'$ 称为 $a$ 在 $\sigma$ 下的像, $a$ 称为 $a'$ 在 $\sigma$ 下的一个原像

注：M到M自身的映射,称为M到自身的变换

例：

1.M是数域P上全体n级矩阵的集合,定义 $\sigma_1(A)=|A|,A\in M$ ,是M到P的一个映射

2.M是数域P上全体n级矩阵的集合,定义 $\sigma_2(a)=aE,a\in P$ ,是P到M的一个映射

3.对 $f(x)\in P[x]$ ,定义 $\sigma(f(x))=f'(x)$ ,是 $P[x]$ 到自身的一个映射

映射相等

集合M到集合M'的两个映射 $\sigma$ 与 $\tau$ ,若 $\forall a\in M$ ,有 $\sigma(a)=\tau(a)$ ,则称它们相等,记作 $\sigma=\tau$

恒等映射(单位映射)

给定集合M,定义 $\sigma(a)=a,a\in M$ ,即 $\sigma$ 把每个元素映到它自身,称为集合M的恒等映射或单位映射,记作 $1_M$ ,可简记作1

函数

任一定义在全体实数上的函数 $y=f(x)$ 都是实数集合到自身的映射,故函数可认为是映射的一个特殊情形

映射乘法

设 $\sigma,\tau$ 分别是集合M到M',M'到M''的映射,乘积 $\tau\sigma=(\tau\sigma)(a)=\tau(\sigma(a)),a\in M$ 为M到M''的一个映射

注：

1.对集合M到M'的任一映射 $\sigma$ ,显然 $1_{M'}\sigma=\sigma 1_M=\sigma$

2.映射的乘法适合结合律

设 $\sigma,\tau,\psi$ 分别为集合M到M',M'到M'',M''到M'''的映射,则 $(\psi\tau)\sigma=\psi(\tau\sigma)$

证明：

$显然,等式两端都是M到M''的映射$

$要证相等$

$只需证\forall a\in M,(\psi\tau)\sigma(a)=\psi(\tau\sigma)(a)$

$由定义$

$(\psi\tau)\sigma(a)=(\psi\tau)(\sigma(a))=\psi(\tau(\sigma(a)))$

$\psi(\tau\sigma)(a)=\psi((\tau\sigma)(a))=\psi(\tau(\sigma(a)))\qquad\mathcal{Q.E.D}$

满射

设 $\sigma$ 是集合M到M'的一个映射, $\sigma(M)$ 表示M在映射 $\sigma$ 下像的全体,称为M在映射 $\sigma$ 下的像的集合

显然 $\sigma(M)\subset M'$

若 $\sigma(M)=M'$ ,则称 $\sigma$ 为映上的,或满射

例：M是全体整数的集合,M'是全体偶数的集合,定义 $\sigma(n)=2n,n\in M$ ,是M到M'的满射

证明：

$对M'中任一元素,即任一偶数2n$

$\because \sigma(n)=2n$

$\therefore M'中任一元素都为M中某一元素在映射\sigma下的像$

$即\sigma(M)\supset M'$

$又\sigma(M)\subset M'$

$\therefore \sigma(M)=M',即\sigma为满射\qquad\mathcal{Q.E.D}$

单射

若在映射 $\sigma$ 下,M中不同元素的像也一定不同,即由 $a_1\neq a_2$ 一定有 $\sigma(a_1)\neq \sigma(a_2)$ ,则称 $\sigma$ 为1-1的或单射

双射

一个映射若既是单射又是满射则称为1-1对应或双射

注：对有限集合来说,两个集合间存在双射的充要条件为它们所含元素个数相同,故对有限集合M及其子集 $M'\neq M$ ,M与M'不能建立双射,对无限集合不一定成立

例：M是全体整数的集合,M'是全体偶数的集合,定义 $\sigma(n)=2n,n\in M$ ,是M到M'的满射,M'为M的真子集

逆映射

对M到M'的双射 $\sigma$ ,逆映射记作 $\sigma^{-1}$ , $\sigma$ 为满射,故M'中每个元素都有原像, $\sigma$ 是单射,M'中每个元素都只有一个原像, $\sigma^{-1}(a')=a$ ,当 $\sigma(a)=a'$

显然, $\sigma^{-1}$ 是M'到M的一个双射,且 $\sigma^{-1}\sigma=1_M,\sigma\sigma^{-1}=1_{M'}$

注：若 $\sigma,\tau$ 分别为M到M',M'到M''的双射,则 $\tau\sigma$ 为M到M''的一个双射

最后编辑于：2019.03.27 15:07:00

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