[04] 度规：时空的尺子

第一次意识到时间与空间关系很紧密，应该是小学运动会跑400米的时候。当第一名冲过终点之后，衡量第二名与第一名的差距，可以说，他比第一名慢2秒，或者说他比第一名落后12米。后来慢慢了解到，距离的定义实际上是依靠时间（与定值光速）的。

狭义相对论里面提到Lorentz变换，实际上就是两个不同坐标系下时间与空间这几个物理量的相互转换关系。既然是两组不同的坐标系发生转换，我们很自然地联想到：这个过程中会不会有什么不变量呢？

来自Sean Carroll：勾股定理所确定的线段长度与坐标系的选取无关

对于Lorentz变换，类似的不变量可以用一个类似于勾股定理的式子来确定，也就是所谓的时空间隔(Space-time interval)：
$\Delta s^2=-c^2\Delta t^2+\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2$
里面的时间项看起来与后面的空间项很不相同，因为包含了光速 $c$ 。由于狭义相对论满足真空光速不变的假设，我们可以很方便地把光速 $c$ 单独提取出来，令其为1，需要用的时候再补上。这样，时空间隔就可以写成：
$\Delta s^2=-\Delta t^2+\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2$
我们看到，时间与空间在本质上并没有不同了，为了简单起见，还可以把他们写到一起，其中 $x^0$ 为时间， $x^1$ ~ $x^3$ 为空间坐标。所有的数字只是上标，不代表乘方。这样，时空间隔可以写作：
$\Delta s^2=-(\Delta x^0)^2+(\Delta x^1)^2+(\Delta x^2)^2+(\Delta x^3)^2$
这个式子还可以继续简化，也就是爱因斯坦的伟大发明：求和约定。最后我们得到的时空间隔是
$(\Delta s)^{2}=\eta_{\mu \nu} \Delta x^{\mu} \Delta x^{\nu}$
约定有同样的上标和下标出现时，自动在前面加上求和号，并用这个上下标作为求和指标。里面的 $\eta_{\nu\mu}$ 实际上是一个矩阵，他只包含对角元，四个对角元为 $\text{diag}(-1, 1, 1, 1)$ ，叫做Minkowski度规。

度规，从字面意思理解，就是一个度量的尺子。Minkowski度规有很多性质，首先，上面的时空间隔可以引出另一个物理量，其相反数叫做固有时，一般用 $\tau$ 表示。不妨推导一下 $\Delta\tau$ 与 $\Delta t$ 的关系。简单起见，假设物体沿着 $x^1$ 或者 $x$ 方向移动，因此固有时可以写作：
$\Delta \tau^2 = \Delta t^2-\Delta x^2$
解得 $\Delta t=\frac{\Delta \tau}{\sqrt{1-v^2}}$ ，其中速度 $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 。这正是我们所熟知的固有时表达式（想一想，光速应该补充在哪里）。