牛顿-辛普森迭代法求曲线参数

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关键字：牛顿-辛普森、积分、曲线长度、GCPnts_AbscissaPoint、OpenCascade

通过上一篇文章，在已知曲线方程和给定参数区间，我们很容易就能计算曲线的在该区间内的弧长。
但是，有时候，我们要求曲线上距离给定参数U0，弧长为Abscissa的另为一点的参数Ui。这时该如何计算呢？
已知条件1. 曲线的参数方程
已知条件2 ,起点参数U0
已知条件3 ，曲线上距离参数U0位置点 的弧长Abscissa

任意曲线弧长的微分方程为\mathrm{d}s=\sqrt{\mathrm{d}^2x+\mathrm{d}^2y}
在已知曲线参数方程的情况下
\mathrm{d}s=\sqrt{\mathrm{d}^2x+\mathrm{d}^2y}= \sqrt{(\frac{dx}{dθ})^2 + (\frac{dy}{dθ})^2}dθ 其中θ为参数
那么弧长计算如下
L =\int_a^b1ds = \int_a^b\sqrt{(\frac{dx}{dθ})^2 + (\frac{dy}{dθ})^2}dθ
令 h(θ)=\sqrt{(\frac{dx}{dθ})^2 + (\frac{dy}{dθ})^2}
(注意观察,h(θ)这不就是给定曲线在θ位置切线的模长么,所以h(θ)已知。)

则上式变为： L = \int_a^bh(θ)dθ

这里我们已知积分下限 令其为a，不知道积分上限另其为b= x ,将L移动到右边上式变为
g(x) = \int_a^xh(θ)dθ - L
= F(x) - L

所以我们的目的变为：求一个x使得g(x) = 0成立。

根据牛顿-辛普森迭代法，我们预先猜测一个xi 。然后通过如下公式进行迭代
x_i = x_i - \frac{g(x)}{g'(x)}

因为积分 F(x)=\int_a^xh(θ)dθ 为变上限积分，根据积分第一定理(牛顿-莱布尼兹公式)可知，F(x)为变上限积分原函数，而原函数F(x)的导数就是变上限积分中的积分函数h(θ)。所以 g'(x) =F'(x)= h(θ)

从而：
x_i = x_i - \frac{g(x)}{g'(x)}= x_i - \frac{g(x_i)}{h(x_i)}

通过分析可知，当给定一个x,我们很容易求出g(x) 和 h(x) 然后不断的迭代
知道abs(g(x)) <= 给定的精度。

例如：
已知椭圆的参数方程

\begin{cases} x = acosθ \\ y = bsinθ \end{cases}

则 h(θ)=\sqrt{(\frac{dx}{dθ})^2 + (\frac{dy}{dθ})^2} = \sqrt{a^2sin^2θ +b^2cos^2θ }
g(θ) = \int_a^θh(θ)dθ - L （ 这一步已知积分上下限先求积分，然后减去L）

当a= 200 b=100时，求椭圆上距离PI/4 长度150的另一个参数点Ui. 精度为0.00000001

  Ux                                               g(x)

1.1096598316594071 -94.177111895505263
1.7052881857520750 22.482481805890046
1.5630964858322587 -5.8951256884998031
1.6003805343695141 1.5610253347664411
1.5905077432833366 -0.41307707114785330
1.5931202720713737 0.10934202567798934
1.592428732811357 -0.028940858958435456
1.5926117704446363 0.0076602755778765186
1.5925633226079750 -0.0020275664376470104
1.5925761460640755 0.00053666886194037033
1.5925727518721695 -0.00014204879113322022
1.5925736502676071 0.000037598344960088070
1.5925734124747946 -0.0000099517601768184250

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